[논문 리뷰] Multi-scale turbulence modeling and maximum information principle. Part 1

Limin Tao|arXiv (Cornell University)|2010. 09. 09.

Probabilistic and Robust Engineering Design참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비압축성 뉴턴 유체를 위한 다중 척도 난류 모델링 프레임워크를 제안하며, 공간 척도 전반에서 난류 변동에 대한 편향 없는 확률밀도함수를 유도하기 위해 최대 정보 원리를 사용한다. 등차 및 부등차 제약 조건—특히 코시-슈바르츠 부등식에서 유도된 제약 조건—하에 정보를 최대화함으로써 모델을 4차 상관관계까지 닫히게 하며, 직접 정보 최대화의 비가용성 문제를 해결하기 위해 계산적으로 타당한 대체 방법으로 공분산 행렬의 흐름과 행렬식을 사용한다. 이는 정보 이론적으로 근거가 있는 닫힌 모델을 도출하며, 균일한 난류에 적용 가능하며 初기 결과로 유망한 성과를 보인다.

ABSTRACT

We discuss averaged turbulence modeling of multi-scales of length for an incompressible Newtonian fluid, with the help of the maximum information principle. We suppose that there exists a function basis to decompose the turbulent fluctuations in a flow of our concern into the components associated with various spatial scales and that there is a probability density function $\pdf$ of these fluctuation components. The unbiased form for $\pdf$ is determined and the turbulence model is closed, with the multi-scale correlations up to the fourth order, through maximizing the information under the constraints of equality and inequality for that flow. Due to the computational difficulty to maximize the information, a closely related but simple alternative objective is sought, like the determinant or the trace of the second order correlations of the turbulent flow. Some preliminary results and implications from the application to homogeneous turbulence are presented. Some issues yet to be resolved are indicated.

연구 동기 및 목표

• 비압축성 뉴턴 유체를 위한 통계적으로 일관된 다중 척도 난류 모델을 개발하여 공간 척도 간 상관관계를 해결한다.
• 난류 모델링의 닫힘 문제를 해결하기 위해 변동 성분에 대한 편향 없는 확률밀도함수를 결정하기 위해 최대 정보 원리를 적용한다.
• 정보 최대화의 계산 비가용성 문제를 해결하기 위해 공분산 행렬의 흐름과 행렬식과 같은 더 단순한 관련 목적 함수를 탐색한다.
• 균일한 난류라는 다중 척도 모델링의 대표적 시험 케이스에서 모델의 타당성과 물리적 관련성을 시험한다.
• 비균일한, 벽에 둘러싸인, 그리고 복잡한 유동으로의 프레임워크 확장을 위한 근본적인 과제를 규명하고 해결한다.

제안 방법

• 난류 속도 및 압력 변동이 특정 공간 척도와 관련된 성분들로 분해된다고 가정한다.
• 파동수 공간과 물리 공간 양쪽에서 통계적 제약 조건을 설정하며, 나비에-스토크스 방정식에서 유도된 등차 제약 조건과 코시-슈바르츠 부등식과 같은 부등차 제약 조건을 포함한다.
• 최대 정보 원리를 적용하여 이러한 제약 조건 하에서 변동 성분의 공동 확률밀도함수 f 의 편향 없는 형태를 도출한다.
• 비가용한 정보 최대화를 계산적으로 타당한 대체 방법—공분산 행렬 βij 의 흐름(전체 변동 에너지)과 행렬식(비정규성)으로 대체한다.
• 4차 상관관계까지 포함된 닫힌 난류 모델을 유도하며, 선택된 목적 함수 외에 추가 자유 매개변수 없이 닫힌 모델이 된다.
• 균일한 난류의 특수 케이스에서 모델을 검증하며, 스펙트럼 및 통계적 방법을 사용하여 DNS 및 실험 데이터와의 일관성을 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최대 정보 원리는 다중 척도 난류 모델링에 효과적으로 적용되어 변동 통계에 대한 편향 없는 닫힌 모델을 도출할 수 있는가?
• RQ2 물리적 일관성을 유지하면서 정보 최대화의 비가용한 계산 문제는 어떻게 해결할 수 있는가?
• RQ3 공분산 행렬의 흐름과 행렬식을 정보 최대화의 대체 목적 함수로 사용할 경우의 의미는 무엇인가?
• RQ4 유도된 모델은 균일한 난류의 맥락에서 물리적으로 의미 있는 예측을 도출하는가?
• RQ5 비균일한 유동 및 벽에 둘러싸인 난류 유동으로의 이 프레임워크 확장 과정에서의 주요 과제는 무엇인가?

주요 결과

• 최대 정보 원리는 물리적 및 통계적 제약 조건 하에서 공동 확률밀도함수의 편향 없는 형태를 결정함으로써 4차 상관관계까지 닫힌 다중 척도 난류 모델을 성공적으로 도출한다.
• 모델은 구조적으로 최소화되어 있으며, 선택된 목적 함수 외에 추가 계수를 포함하지 않으며, 고차항의 경험적 모델링 없이도 닫혀 있다.
• 균일한 난류에 대한 초도 결과는 직접 수치 시뮬레이션(DNS) 및 실험 데이터와 호환되며, 특히 균일한 비틀림 난류의 경우 뚜렷한 성과를 보인다.
• 공분산 행렬의 흐름을 목적 함수로 사용하는 것은 흐름 내 전체 변동 에너지에 해당하므로 물리적으로 타당하다.
• 공분산 행렬의 행렬식은 약간의 비정규성을 띤 유동에서 비정규성을 캡처하기에 적합한 대체 방법이다.
• 비균일한 유동으로의 프레임워크 확장 과정에서는 파동수 국소성, 고파동수 등방성, 물리 공간에서의 일관된 부등차 제약 조건 설정 등의 처리 문제가 여전히 큰 과제로 남아 있다.