[논문 리뷰] Multi-valued variational inequalities for variable exponent double phase problems: comparison and extremality results

Siegfried Carl, Vy Khoi Le외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 01. 08.

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한 줄 요약

이 논문은 유계 도메인 내에서 변수 지수 이중 단계 연산자를 포함하는 다중값 변분부등식에 대해 존재성, 비교성 및 극값 결과를 확립한다. 제약집합에 대한 약한 강제성 조건과 격자 조건을 도입한 하향-상향 해법을 통해 극값 해의 존재성을 증명하고, 고정점 추론을 통해 일반화된 변분-반변분부등식 및 불연속 Nemytskij 연산자에 이 프레임워크를 적용한다.

ABSTRACT

We prove existence and comparison results for multi-valued variational inequalities in a bounded domain $Ω$ of the form \begin{equation*} u\in K\,:\, 0 \in Au+\partial I_K(u)+\mathcal{F}(u)+\mathcal{F}_Γ(u)\quad ext{in }W^{1,\mathcal{H}}(Ω)^*, \end{equation*} where $A\colon W^{1, \mathcal{H}}(Ω) o W^{1, \mathcal{H}}(Ω)^*$ given by \begin{equation*} Au:=- ext{div}\left(| abla u|^{p(x)-2} abla u+ μ(x) | abla u|^{q(x)-2} abla u ight) \end{equation*} for $u \in W^{1, \mathcal{H}}(Ω)$, is the double phase operator with variable exponents and $W^{1, \mathcal{H}}(Ω)$ is the associated Musielak-Orlicz Sobolev space. First, an existence result is proved under some weak coercivity condition. Our main focus aims at the treatment of the problem under consideration when coercivity fails. To this end we establish the method of sub-supersolution for the multi-valued variational inequality in the space $W^{1, \mathcal{H}}(Ω)$ based on appropriately defined sub- and supersolutions, which yields the existence of solutions within an ordered interval of sub-supersolution. Moreover, the existence of extremal solutions will be shown provided the closed, convex subset $K$ of $W^{1, \mathcal{H}}(Ω)$ satisfies a lattice condition. As an application of the sub-supersolution method we are able to show that a class of generalized variational-hemivariational inequalities with a leading double phase operator are included as a special case of the multi-valued variational inequality considered here. Based on a fixed point argument, we also study the case when the corresponding Nemytskij operators $\mathcal{F}, \mathcal{F}_Γ$ need not be continuous. At the end, we give a nontrivial example of the construction of sub- and supersolutions related to the problem above.

연구 동기 및 목표

• 유계 영역 내에서 변수 지수 이중 단계 연산자를 갖는 다중값 변분부등식에 대해 존재성과 비교 결과를 확립하는 것.
• 기본 강제성 조건이 실패하는 경우를 다루기 위해 Musielak-Orlicz-Sobolev 공간 내에서 하향-상향 해법 프레임워크를 개발하는 것.
• 제약집합 $K$ 에 대해 격자 조건이 성립할 때 극값 해의 존재성을 증명하는 것.
• 일반화된 변분-반변분부등식에 이중 단계 연산자가 포함된 경우가 제안된 프레임워크의 특수한 경우로 포함됨을 보여주는 것.
• 연속성 조건 없이도 고정점 추론을 통해 불연속 Nemytskij 연산자 이론을 확장하는 것.

제안 방법

• 이중 단계 연산자 $Au = -\operatorname{div}(|\nabla u|^{p(x)-2}\nabla u + \mu(x)|\nabla u|^{q(x)-2}\nabla u)$ 와 관련된 Musielak-Orlicz-Sobolev 공간 $W^{1, ho}\left(\nabla\right)$ 내에서 문제를 수립하는 것.
• 변분부등식의 구조와 지표 함수 $\partial I_K(u)$ 의 하위미분을 이용해 $W^{1,\rho}(\nabla)$ 내에서 하향 및 상향 해를 정의하는 것.
• 임의의 순서 정렬된 하향-상향 해 쌍이 순서 간격 내에 해를 둘러싸도록 보장함으로써 하향-상향 해법을 확립하는 것.
• 다중값 함수 $f, f_\Gamma$ 의 연속성 조건 없이도 불연속 Nemytskij 연산자 $\mathcal{F}, \mathcal{F}_\Gamma$ 를 고정점 추론을 통해 다루는 것.
• 해 집합 내에서 최소 및 최대 해의 존재를 보장하기 위해 $K \wedge K \subset K$ 와 $K \vee K \subset K$ 의 격자 조건을 적용하는 것.
• 해당 방법의 타당성을 검증하기 위해 $L^\infty$-데이터를 갖는 보조 Dirichlet 문제의 해를 이용해 명시적인 하향 및 상향 해를 구성하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 강제성 조건이 실패하는 상황에서 변수 지수 이중 단계 연산자를 갖는 다중값 변분부등식이 해를 갖는 조건는 무엇인가?
• RQ2 Musielak-Orlicz-Sobolev 공간 내에서 비강제성, 다중값 변분부등식에 대해 하향-상향 해법을 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ3 제약집합 $K$ 에 대해 어떤 조건이 해 집합 내에서 극값 해의 존재를 보장하는가?
• RQ4 일반화된 변분-반변분부등식에 이중 단계 연산자가 포함된 경우가 제안된 프레임워크의 특수한 경우로 포함될 수 있는가?
• RQ5 이러한 맥락에서 연속성 조건 없이도 불연속 Nemytskij 연산자를 어떻게 다룰 수 있는가?

주요 결과

• 약한 강제성 조건 하에서 $W^{1,\mathcal{H}}(\Omega)$ 내 다중값 변분부등식에 대해 존재성 결과를 확립하였다.
• 비강제성 경우에 하향-상향 해법이 성공적으로 확장되어 하향 및 상향 해의 순서 간격 내에 해가 존재함을 보였다.
• 제약집합 $K$ 에 대해 격자 조건이 성립할 경우 해 집합 $\mathcal{S}$ 는 컴팩트하고 최소 및 최대 해를 갖는다.
• 일반화된 변분-반변분부등식에 이중 단계 연산자가 포함된 경우가 제안된 프레임워크의 특수한 경우로 포함됨을 입증하였다.
• 고정점 추론을 통해 불연속 Nemytskij 연산자 $\mathcal{F}, \mathcal{F}_\Gamma$ 를 다루었으며, 다중값 원천의 연속성 조건 없이도 가능함을 보였다.
• 명시적인 예시를 통해 $L^\infty$-데이터를 갖는 Dirichlet 문제의 해를 이용해 하향 및 상향 해를 구성함으로써 방법의 적용 가능성을 검증하였다.