[논문 리뷰] Multi-window STFT phase retrieval: lattice uniqueness

Philipp Grohs, Lukas Liehr외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 07. 21.

Advanced X-ray Imaging Techniques인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 레이티스 상에서 단일 윈도우 STFT 위상 복원의 근본적 한계를 다중 윈도우 접근법을 통해 해결한다. 헤르미트 함수에서 유도된 네 개의 고바르 윈도우를 사용하여, |det A|⁻¹ ≥ 4(실수값 함수의 경우 ≥2)인 레이티스 밀도 조건을 만족할 경우, L²(R)에 속하는 모든 함수 f는 전역 위상까지 유일하게 복원 가능하다. 이는 단일 윈도우 샘플링에서 알려진 유일성 장벽을 극복한다.

ABSTRACT

Short-time Fourier transform (STFT) phase retrieval refers to the reconstruction of a function $f$ from its spectrogram, i.e., the magnitudes of its short-time Fourier transform $V_gf$ with window function $g$. While it is known that for appropriate windows, any function $f \in L^2(\mathbb{R})$ can be reconstructed from the full spectrogram $|V_g f(\mathbb{R}^2)|$, in practical scenarios, the reconstruction must be achieved from discrete samples, typically taken on a lattice. It turns out that the sampled problem becomes much more subtle: recent results have demonstrated that uniqueness via lattice-sampling is unachievable, irrespective of the choice of the window function or the lattice density. In the present paper, we initiate the study of multi-window STFT phase retrieval as a way to effectively bypass the discretization barriers encountered in the single-window case. By establishing a link between multi-window Gabor systems, sampling in Fock space, and phase retrieval for finite frames, we derive conditions under which square-integrable functions can be uniquely recovered from spectrogram samples on a lattice. Specifically, we provide conditions on window functions $g_1, \dots, g_4 \in L^2(\mathbb{R})$, such that every $f \in L^2(\mathbb{R})$ is determined up to a global phase from $$\left(|V_{g_1}f(A\mathbb{Z}^2)|, \, \dots, \, |V_{g_4}f(A\mathbb{Z}^2)| ight)$$ whenever $A \in \mathrm{GL}_2(\mathbb{R})$ satisfies the density condition $|\det A|^{-1} \geq 4$. For real-valued functions, a density of $|\det A|^{-1} \geq 2$ is sufficient. Corresponding results for irregular sampling are also shown.

연구 동기 및 목표

• 단일 윈도우 함수로 레이티스 상에서 샘플링할 때 STFT 위상 복원의 근본적 비유일성을 해결한다.
• 어떤 단일 윈도우와 레이티스 조합이라도 전역 위상까지의 유일한 복원을 보장할 수 없다는 이론적 장벽을 극복한다.
• 샘플링의 중복성을 증가시켜 이산 위상 복원에서 유일성을 복원하는 다중 윈도우 프레임워크를 개발한다.
• 레이티스 상에서 다수의 윈도우로부터의 스펙트로그램 샘플이 제곱-integrable 함수를 유일하게 복원할 수 있는 조건을 설정한다.
• 결과를 비정규 샘플링과 실수값 함수로 확장하여, 필요한 밀도 요구 조건을 감소시킨다.

제안 방법

• 첫 번째 두 헤르미트 함수 h₀와 h₁의 선형 조합으로 정의된 윈도우를 사용한 다중 윈도우 고바르 시스템을 사용한다.
• Bargmann 변환을 활용하여 STFT 위상 복원 문제를 Fock 공간 내의 샘플링 및 유일성 문제로 변환한다.
• Fock 공간 내 샘플링과 유 endomorphism 차원 위상 복원 간의 이중성 관계를 통해 유한 차원 위상 복원 문제와 연결한다.
• 실수값 함수가 Fock 공간 표현에서 켤라위 대칭을 가지는 사실을 활용하여 Fock 공간 내 대칭성과 이중성 원리를 적용한다.
• 이동된 레이티스와 부분 레이티스 분해(예: Γ₁, Γ₂)를 사용하여 복소수 켤라위 대칭에 대해 닫혀 있는 유일성 집합을 구성한다.
• 윈도우 집합 {gₚ}ₚ∈P 가 C²에서 위상 복원을 수행한다면, 다중 윈도우 시스템은 레이티스 샘플로부터 f ∈ L²(R)를 전역 위상까지 유일하게 복원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단일 윈도우 함수를 사용하여 레이티스 상에서 STFT 스펙트로그램 샘플로부터 f ∈ L²(R)의 유일한 복원이 가능할 수 있는가?
• RQ2 이산 STFT 위상 복원에서 유일성을 복원하기 위해 필요한 최소 윈도우 수는 얼마인가?
• RQ3 유일성에 필요한 레이티스 밀도는 f가 복소수 또는 실수값 함수일 때 어떻게 달라지는가?
• RQ4 결과를 비정규 샘플링 집합으로 확장할 수 있는가?
• RQ5 Fock 공간 샘플링 이론과 유한 차원 위상 복원과의 이중성은 다중 윈도우 위상 복원 문제 해결에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 복소수값 함수의 경우, h₀와 h₁의 선형 조합으로 정의된 네 개의 윈도우 {g₁, g₂, g₃, g₄}는 |det A|⁻¹ ≥ 4일 경우, L²(R)에 속하는 임의의 함수 f를 레이티스 AZ² 상의 스펙트로그램 샘플로부터 전역 위상까지 유일하게 복원한다.
• 실수값 함수의 경우 필요한 레이티스 밀도는 |det A|⁻¹ ≥ 2로 감소하며, 이는 이동된 레이티스 (0, β/4)ᵀ + AZ²를 통해 달성된다.
• 결과는 비정규 샘플링 집합에도 적용 가능하다: C의 부분집합 Λ가 A(L²(R))에 대해 유일성 집합이면서 복소수 켤라위 대칭에 대해 닫혀 있다면, 상반평면과의 교차는 L²(R, R)에서의 위상 복원을 보장한다.
• 이동된 레이티스 Γ₁ = (0, β/2)ᵀ + (αZ × 2βZ)와 Γ₂ = (0, β/2)ᵀ + (αZ × βZ)는 기저 벡수를 회전시킨 후 그 켤라위 복소수와 함께 사용할 경우 실수값 함수에 대해 위상 복원을 보장한다.
• 증명은 STFT 도메인의 위상 없는 샘플링과 유한 차원 위상 복원 간의 이중성을 확립하여, Fock 공간 이론과 프레임 이론에서 알려진 결과를 활용할 수 있도록 한다.
• 구성은 명시적이다: 네 개의 윈도우는 가우시안과 첫 번째 헤르미트 함수의 선형 조합으로 선택할 수 있어, 응용에 실용적이다.