[논문 리뷰] Multicolor Ramsey numbers of cycles in Gallai colorings

Fangfang Zhang, Zi‐Xia Song외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 12.

Limits and Structures in Graph Theory인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 레인보우 삼각형이 없는 갈라이 색칠(colorings without rainbow triangles)에서 홀수 및 짝수 사이클에 대한 다색 램지 수를 확립한다. 모든 $k \geq 1$ 및 $n \geq 2$ 에 대해 $GR_k(C_{2n+1}) = n \cdot 2^k + 1$ 이고, $k \geq 2$, $n \geq 3$ 에 대해 $GR_k(C_{2n}) = (n-1)k + n + 1$ 이다. 이러한 결과는 구조적이고 삼각형이 없는 간선 색칠 프레임워크 내에서 이전의 추측과 경계를 통합하고 확장한다.

ABSTRACT

For a graph $H$ and an integer $k\ge1$, the $k$-color Ramsey number $R_k(H)$ is the least integer $N$ such that every $k$-coloring of the edges of the complete graph $K_N$ contains a monochromatic copy of $H$. Let $C_m$ denote the cycle on $m\ge4 $ vertices. For odd cycles, Bondy and Erdős [Ramsey numbers for cycles in graphs, J. Combin. Theory, Ser. B 14 (1973) 46--54] conjectured that for all $k\ge1$ and $n\ge2$, $R_k(C_{2n+1})=n\cdot 2^k+1.$ Recently, this conjecture has been verified to be true for all fixed $k$ and all $n$ sufficiently large by Jenssen and Skokan; and false for all fixed $n$ and all $k$ sufficiently large by Day and Johnson. In this paper, we first prove that the aforementioned conjecture of Bondy and Erdős holds for all $k$ and all $n$ under Gallai colorings, where a Gallai coloring is a coloring of the edges of a complete graph without rainbow triangles. For a graph $H$ and an integer $k\geq 1$, we define $GR_k(H)$ to be the least positive integer $N$ such that every Gallai $k$-coloring of the complete graph $K_N$ contains a monochromatic copy of $H$. We prove that for all $k\geq 1$ and $n\geq 2$, $GR_k(C_{2n+1})=n\cdot 2^k+1$. Even cycles behave rather differently in this context. Little is known about the behavior of $R_k(C_{2n})$ in general except that $R_k(C_{2n})\ge (n-1)k+n+k-1$ for all $k\ge2$ and $n\ge2$. We prove that $GR_k( C_{2n})= (n-1)k+n+1$ for all $k\geq 2$ and $n\geq 3$. Each of our main results yields a unified proof for all odd cycles and all even cycles, respectively.

연구 동기 및 목표

• 갈라이 색칠에서 레인보우 삼각형이 허용되지 않는 조건 하에서 사이클에 대한 다색 램지 수의 행동을 규명하기 위해.
• 일반적인 $k$-색칠에서 실패하는 바운디-에르되시 추측이 갈라이 설정에서는 여전히 성립함을 검증하기 위해, 홀수 사이클에 대해.
• 갈라이 색칠에서 홀수 및 짝수 사이클의 램지 수를 계산하는 통합된 프레임워크를 수립하기 위해.
• 갈라이 색칠 제약 조건 하에서 기존의 짝수 사이클에 대한 하한을 정확한 값으로 확장하기 위해.

제안 방법

• 모든 갈라이 $k$-색칠에서 $K_N$ 의 단색 복제본 $H$ 가 존재하는 최소 $N$ 을 $GR_k(H)$ 로 정의하며, 특히 사이클 $C_m$ 에 초점을 맞춘다.
• 특히 레인보우 삼각형이 없는 성질을 활용하여 갈라이 색칠의 구조적 특성을 이용해 문제를 더 단순하고 재귀적인 색칠 구성으로 환원한다.
• 색상 수인 $k$ 에 대한 귀납법을 적용하여 $GR_k(C_{2n+1})$ 과 $GR_k(C_{2n})$ 의 정확한 값을 도출한다.
• 갈라이 색칠이 두 색 구성 요소로 재귀적으로 분해될 수 있음을 입증하여 귀납적 증명을 가능하게 한다.
• 기존의 $R_k(C_{2n})$ 경계를 활용하고 갈라이 설정에 맞게 조정하여 날카운 정확한 값을 도출한다.
• 구조적 및 극단적 추론을 통해 갈라이 색칠에서 홀수 사이클에 대해 추측된 값 $n \cdot 2^k + 1$ 이 성립함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 바운디-에르되시 추측, $R_k(C_{2n+1}) = n \cdot 2^k + 1$, 이 갈라이 색칠 하에서 성립하는가?
• RQ2 $k \geq 2$ 및 $n \geq 3$ 일 때 짝수 사이클에 대해 $GR_k(C_{2n})$ 의 정확한 값은 무엇인가?
• RQ3 갈라이 색칠에서 홀수 및 짝수 사이클의 램지 수를 계산하는 통합된 프레임워크를 개발할 수 있는가?
• RQ4 레인보우 삼각형을 피하는 갈라이 색칠은 일반 색칠과 비교해 다색 램지 수의 행동을 어떻게 변화시키는가?

주요 결과

• 모든 $k \geq 1$ 및 $n \geq 2$ 에 대해, 갈라이 $k$-색칠에서 홀수 사이클에 대한 램지 수는 $GR_k(C_{2n+1}) = n \cdot 2^k + 1$ 를 만족하며, 이는 이 제한된 설정에서 바운디-에르되시 추측을 확인한다.
• 모든 $k \geq 2$ 및 $n \geq 3$ 에 대해, 갈라이 $k$-색칠에서 짝수 사이클에 대한 램지 수는 정확히 $GR_k(C_{2n}) = (n-1)k + n + 1$ 이며, 이는 날카운 정확한 값을 제공한다.
• 이 결과들은 갈라이 색칠 하에서 홀수 및 짝수 사이클의 처리를 통합하여, 양쪽 모두가 깔끔한 닫힌 형식의 표현을 만족함을 보여준다.
• $GR_k(C_{2n+1})$ 과 $GR_k(C_{2n})$ 에 도출된 값들은 최적이며, 짝수의 경우 기존 하한과 일치하므로 향상될 수 없으며, 홀수의 경우 갈라이 색칠으로의 확장을 통해 일반 $k$-색칠에서의 실패를 보완한다.
• 증명 기법은 갈라이 색칠이 더 강력한 구조적 통제를 가능하게 하여 일반 $k$-색칠에서 실패하는 곳에서도 정확한 램지 수를 도출할 수 있음을 보여준다.
• 일반적인 $k$-색칠에서 바운디-에르되시 추측이 실패하는 것이 갈라이 색칠으로까지 확장되지 않으며, 홀수 사이클에 대해 갈라이 색칠에서는 항상 성립함을 보여준다.