[논문 리뷰] Multidimensional bilinear Hardy inequalities

Nevin Bilgiçli, Rza Mustafayev외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 17.

Advanced Harmonic Analysis Research참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $ olimits\mathbb{R}^n$에서 구와 그 여집합 위의 적분을 포함하는 다차원 이항 허드리 부등식을 특성화하며, 가중 리만스페이스에서 다른 가중 리만스페이스로의 $n$차원 이항 허드리 연산자의 유계성에 대한 필요 및 충분 조건을 설정한다. 주요 기여는 $0 < q \leq \infty$, $1 \leq p_1, p_2 \leq \infty$ 전반에 걸쳐 이중성, 반복 허드리 유형 부등식, 그리고 가중치와 측도에 대한 조건을 사용하여 완전한 특성화를 제공하는 것으로, 이는 이산화와 이중성 기법을 통해 명시적인 상수를 유도한다.

ABSTRACT

Our goal in this paper is to find a characterization of $n$-dimensional bilinear Hardy inequalities \begin{align*} \bigg\| \,\int_{B(0,\cdot)} f \cdot \int_{B(0,\cdot)} g \,\bigg\|_{q,u,(0,\infty)} &amp; \leq C \, \|f\|_{p_1,v_1,{\mathbb R}^n} \, \|g\|_{p_2,v_2,{\mathbb R}^n}, \quad f,\,g \in {\mathfrak M}^+ ({\mathbb R}^n), \end{align*} and \begin{align*} \bigg\| \,\int_{\,^{^{\mathsf{c}}}\! B(0,\cdot)} f \cdot \int_{\,^{^{\mathsf{c}}}\! B(0,\cdot)} g \,\bigg\|_{q,u,(0,\infty)} &amp;\leq C \, \|f\|_{p_1,v_1,{\mathbb R}^n} \, \|g\|_{p_2,v_2,{\mathbb R}^n}, \quad f,\,g \in {\mathfrak M}^+ ({\mathbb R}^n), \end{align*} when $0 &lt; q \le \infty$, $1 \le p_1,\,p_2 \le \infty$ and $u$ and $v_1,\,v_2$ are weight functions on $(0,\infty)$ and ${\mathbb R}^n$, respectively. Since the solution of the first inequality can be obtained from the characterization of the second one by usual change of variables we concentrate our attention on characterization of the latter. The characterization of this inequality is easily obtained for the range of parameters when $p_1 \le q$ using the characterizations of multidimensional weighted Hardy-type inequalites while in the case when $q &lt; p_1$ the problem is reduced to the solution of multidimensional weighted iterated Hardy-type inequality. To achieve the goal, we characterize the validity of multidimensional weighted iterated Hardy-type inequality $$ \left\|\left\|\int_{\,^{^{\mathsf{c}}}\! B(0,\cdot)}h(z)dz ight\|_{p,u,(0,t)} ight\|_{q,μ,(0,\infty)}\leq c \|h\|_{θ,v,(0,\infty)},~ h \in \mathfrak{M}^+({\mathbb R}^n) $$ where $0 &lt; p,\,q &lt; +\infty$, $1 \leq θ\le \infty$, $u\in {\mathcal W}(0,\infty)$, $v \in {\mathcal W}({\mathbb R}^n)$ and $μ$ is a non-negative Borel measure on $(0,\infty)$.

연구 동기 및 목표

• 구와 그 여집합 위의 적분을 통해 정의된 $n$차원 이항 허드리 연산자의 유계성 특성화.
• 부등식 $\| \int_{B(0,\cdot)}f \cdot \int_{B(0,\cdot)}g \|_{q,u,(0,\infty)} \leq C \|f\|_{p_1,v_1} \|g\|_{p_2,v_2}$가 성립하기 위한 가중치 함수 $u$, $v_1$, $v_2$와 측도 $\mu$에 대한 필요 및 충분 조건 규명.
• 공집합의 여집합을 포함하는 경우, $\int_{^cB(0,\cdot)}f \cdot \int_{^cB(0,\cdot)}g$에 대한 분석을 수행하고 이를 반복 허드리 유형 부등식으로 환원.
• 모든 $0 < q \leq \infty$, $1 \leq p_1, p_2 \leq \infty$에 대한 완전한 특성화 제공, 특히 $q < p_1$인 어려운 케이스 포함.
• 주어진 가중치와 측도에 따라 최적 상수 $C$의 명시적 표현 유도.

제안 방법

• 이중성 기법을 사용하여 이항 부등식을 본질적 상한과 가중 $L^p$ 노름을 포함하는 이중 형태로 환원.
• 주요 부등식을 $\| \| \int_{^cB(0,s)} h(z) dz \|_{p,u,(0,t)} \|_{q,\mu,(0,\infty)} \leq c \|h\|_{\theta,v,(0,\infty)}$ 형태의 다차원 반복 허드리 유형 부등식으로 환원.
• 특히 측도 $\mu$가 $U^{q/p}$에 대해 비퇴화적일 경우에 대한 가중 허드리 유형 부등식의 알려진 특성화를 적용.
• 이산화 및 반복 방법을 활용하여 $q < p_1$인 경우, 이는 $p_1 \leq q$인 경우보다 더 복잡하므로 깊이 있는 분석 필요.
• 이중성 및 노름 비교를 통해 날카운 추정을 도출하기 위해 [mu.emb]와 [Krep]의 기존 결과를 활용.
• 상한의 교환과 약한 유형 추정을 사용하여 가중치와 측도에 대한 등가 조건 도출.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공집합의 여집합을 포함하는 다차원 이항 허드리 부등식이 성립하기 위한 가중치 $u$, $v_1$, $v_2$와 측도 $\mu$에 대한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ2 이항 허드리 연산자의 유계성이 $q < p_1$일 경우와 $p_1 \leq q$일 경우에 비해 어떻게 달라지는가?
• RQ3 이항 부등식의 특성화는 알려진 반복 허드리 유형 부등식의 클래스로 환원될 수 있는가?
• RQ4 주어진 가중치와 측도에 따라 이항 허드리 부등식의 최적 상수 $C$의 정확한 표현은 무엇인가?
• RQ5 측도 $\mu$가 어떤 조건을 만족할 경우 반복 허드리 유형 부등식의 특성화가 유지되는가?

주요 결과

• 모든 $p_1 < \infty$에 대해, 최적 상수 $C$는 $p_2 < \infty$일 경우 $\sup_{t \in (0,\infty)} u(t) \|v_1^{-1/p_1}\|_{p_1', \,^cB(0,t)} \|v_2^{-1/p_2}\|_{p_2', \,^cB(0,t)}$와 동치이다.
• 모든 $p_2 = \infty$일 경우, 최적 상수는 $C \approx \sup_{t \in (0,\infty)} u(t) \|v_1^{-1/p_1}\|_{p_1', \,^cB(0,t)} \|v_2^{-1}\|_{1, \,^cB(0,t)}$를 만족한다.
• 모든 $p_1 = p_2 = \infty$일 경우, 최적 상수는 $C \approx \sup_{t \in (0,\infty)} u(t) \|v_1^{-1}\|_{1, \,^cB(0,t)} \|v_2^{-1}\|_{1, \,^cB(0,t)}$를 만족한다.
• 이항 허드리 부등식의 특성화는 구의 여집합에서의 가중치 행동과 측도 $\mu$에 의해 완전히 결정된다.
• 문제는 $\mu$가 $U^{q/p}$에 대해 비퇴화적일 경우에 대해 해결된 다차원 반복 허드리 유형 부등식으로 환원된다.
• 모든 $p_1 \leq q$의 경우는 알려진 다차원 허드리 유형 부등식에 의해 유도되며, $q < p_1$의 경우는 이중성 및 반복 부등식을 통한 깊이 있는 분석이 필요하다.