[논문 리뷰] Multidimensional continued fraction and rational approximation

Zongduo Dai, Kunpeng Wang외 1명|ArXiv.org|2004. 01. 14.

Numerical Methods and Algorithms참고 문헌 16인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 형식적 로랑 급수 체 위에서 다차원 유리 근사에 대한 m-연분수 프레임워크를 소개하며, 근사자들이 목표 급수로 수렴하고 최적임을 증명한다. 또한 엄격한 m-연분수와 $F((z^{-1}))^m$의 원소 사이에 1:1 대응 관계를 수립하고, 이 방법을 코드 이론 및 암호학에서의 다중시퀀스 합성 문제 해결에 응용한다.

ABSTRACT

The classical continued fraction is generalized for studying the rational approximation problem on multi-formal Laurent series in this paper, the construction is called m-continued fraction. It is proved that the approximants of an m-continued fraction converge to a multi-formal Laurent series, and are best rational approximations to it; conversely for any multi-formal Laurent series an algorithm called m-CF transform is introduced to obtain its m-continued fraction expansions; moreover, strict m-continued fractions, which are m-continued fractions imposed with some additional conditions, and multi-formal Laurent series are in 1-1 correspondence. It is shown that m-continued fractions can be used to study the multi-sequence synthesis problem.

연구 동기 및 목표

• 형식적 로랑 급수 체 위에서 다차원 유리 근사를 위한 고전적 연분수의 다차원 일반화를 목적으로 한다.
• m-연분수의 근사자들이 주어진 다중형식적 로랑 급수에 대해 최적의 유리 근사임을 증명한다.
• 모든 다중형식적 로랑 급수에 대한 m-연분수 전개를 계산하는 알고리즘(m-CF 변환)을 개발한다.
• 엄격한 m-연분수와 $F((z^{-1}))^m$의 원소 사이에 일대일 대응 관계를 수립한다.
• 이론을 이용하여 통신 및 암호학 분야의 다중시퀀스 합성 문제를 해결한다.

제안 방법

• 체 $F((z^{-1}))^m$ 내에서 색인된 값매기기와 행렬 기반의 재귀 관계를 사용하여 m-연분수를 정의한다.
• 주어진 다중형식적 로랑 급수의 연분수 전개를 생성하기 위해 m-CF 변환 알고리즘을 도입한다.
• 근사자를 반복적으로 구성하기 위해 기저 행렬 $R_{k-1}$과 변환 행렬 $E_{h_k}$, $A(\underline{a}_k)$를 사용한다.
• 수렴성과 최적성 보장을 위해 값매기기 $Iv(\cdot)$와 지지 조건 $Supp^+(\cdot)$를 적용한다.
• 부분 몫 계산을 위해 행렬 역행렬과 다항식 부분 추출($\lfloor \cdot \rfloor$)을 활용한다.
• 변환 $\psi(\underline{r})$가 엄격한 m-연분수를 유도할 조건은 근사자가 최적임과 동치임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중형식적 로랑 급수에 대해 근사자가 최적의 유리 근사가 되는 다차원 연분수를 구성할 수 있는가?
• RQ2 엄격한 m-연분수와 $F((z^{-1}))^m$의 원소 사이에 1:1 대응 관계가 존재하는가?
• RQ3 m-연분수 프레임워크를 이용하여 코드 이론에서의 다중시퀀스 합성 문제를 해결할 수 있는가?
• RQ4 행렬 변환 $E_{h_k}$와 $A(\underline{a}_k)$는 근사자의 수렴성과 최적성을 어떻게 보장하는가?
• RQ5 m-CF 변환이 엄격한 m-연분수를 생성하기 위한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• m-연분수의 근사자들은 원래의 다중형식적 로랑 급수 $\underline{r}$로 수렴하며, $\lim_{k\to\infty} \underline{p}_k / q_k = \underline{r}$임을 보였다.
• 근사자들이 최적의 유리 근사임이 증명되었으며, 이는 분모 차수의 유계성 조건 하에서 오차의 값매기기를 최소화함을 의미한다.
• 엄격한 m-연분수와 $F((z^{-1}))^m$의 원소 사이에 1:1 대응 관계가 존재하며, 이는 m-CF 변환을 통해 확립되었다.
• m-CF 변환 알고리즘이 $F((z^{-1}))^m$의 임의의 $\underline{r}$에 대해 m-연분수 전개를 성공적으로 계산한다.
• 모든 m-연분수 $C$에 대해 $\varphi(C) = \underline{r}$가 성립함을 확인하여 역사상 mapping을 확인하였다.
• 이 프레임워크는 기존의 Berlekamp-Massey 또는 유클리드 알고리즘과 동치이지만 더 자연스럽고 잘 정렬된 방법으로 다중시퀀스 합성 문제를 해결할 수 있다.