[논문 리뷰] Multidimensional Markov FBSDEs with superquadratic growth

Michael Kupper, Peng Luo외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 05.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 18인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 제어 변수 Z에 대해 초평면적 성장( superquadratic growth)을 보이는 다차원 마코프성 후방-전방 확률미분방정식(FBSDEs)에 대해 국소적이고 전역적인 존재성 및 유일성을 확립한다. 접근법은 제어 과정을 유계로 유지하기 위해 말레비안 미분법을 활용하고, 국소 해를 전역 해로 확장하기 위해 붙임 기법을 조합한다. 계수에 대한 비특이성 및 정규성 조건 하에서, 기존 결과를 상호연결된 다차원 케이스로 확장하며, Z에 대해 임의의 성장률을 허용한다.

ABSTRACT

We give local and global existence and uniqueness results for systems of coupled FBSDEs in the multidimensional setting and with generators allowed to grow arbitrarily fast in the control variable. Our results are based on Malliavin calculus arguments and pasting techniques.

연구 동기 및 목표

• 제어 변수 Z에 대해 초평면적 성장률을 갖는 상호연결된 다차원 FBSDEs에 대한 잘 정의된 문제 해결 결과가 부족한 데 대한 대응.
• 초평면적 성장률을 갖는 1차원 FBSDEs에 대한 기존 국소 해 존재 결과를 다차원 케이스로 확장.
• 계수에 대한 비특이성 및 정규성 조건 하에서 이러한 시스템에 대한 전역 해를 구성.
• 비마코프성 설정 및 더 강한 말레비안 도함수 가정 하에 랜덤한 확산 계수를 갖는 설정으로 확장 가능한 프레임워크 제공.

제안 방법

• 제어 과정 Z에 대한 균일한 유계성 조건을 도출하기 위해 말레비안 미분법을 활용하여 국소 리프시츠 성질을 갖는 생성자에 대해 잘라내기(Truncation) 기법을 적용할 수 있도록 한다.
• 적절한 바나흐 공간에서 피카르 반복 기법을 사용하여 국소 존재성 및 유일성을 증명하며, 말레비안 미분법에 의해 유도된 Z의 유계성에 의존한다.
• 작은 시간 간격들에 걸쳐 국소 해를 붙임 처리하여 전체 시간 영역 T에 대해 전역 해로 확장한다.
• 마코프성 FBSDEs의 PDE 표현(예: Delarue [7])을 활용하여 확률적 시스템과 타원형 PDE를 연결함으로써 전역 해의 구성에 기여한다.
• 생성자 g가 대각선에서 최대 평면적 성장률을 갖도록 조건을 설정하고, 해의 존재성을 보장하기 위해 확산 계수 σ의 비특이성을 가정한다.
• 리프시츠 케이스에서 Y의 말레비안 도함수의 추적(trace)이 Z의 한 형태임을 이용하며, 이는 초평면적 성장률을 다루기 위해 유계성 논증을 통해 확장된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제어 변수 Z에 대해 초평면적 성장률을 갖는 상호연결된 다차원 FBSDEs 시스템이 고유한 해를 갖기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 1차원 FBSDEs에 사용된 말레비안 미분법 기법이 다차원 케이스에서 제어 과정 Z의 유계성을 증명하는 데 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ3 어떻게 국소 해를 조합하여 초평면적 생성자에 대해 전역 해를 구성할 수 있는가?
• RQ4 확산 계수 σ의 비특이성이 이러한 시스템의 전역 해 존재성에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 마코프성 프레임워크는 비마코프성 또는 랜덤한 확산 계수 설정으로 얼마나 넓히기 가능한가?

주요 결과

• 시간 영역이 충분히 작고, 말레비안 미분법에 의해 Z가 균일하게 유계일 경우, (X,Y)에 대해 국소 리프시츠 성질을 갖는 다차원 마코프성 FBSDEs에 대해 고유한 국소 해가 존재한다.
• 생성자 g가 대각선에서 최대 평면적 성장률을 갖는다거나, 확산 계수 σ가 비특이적이라는 조건 하에 전역 존재성 및 유일성이 확립된다.
• 제어 과정 Z는 문제의 매개변수에 따라 결정되는 상수 M̄에 의해 균일하게 유계이며, 이는 잘라내기 및 바나흐 공간 프레임워크 내 피카르 반복 기법의 적용을 가능하게 한다.
• 해는 S²(ℝᵐ) × S∞(ℝˡ) × S∞(ℝˡ×ᵈ) 공간에 속해 있어 경로의 정규성 및 적분 가능성 보장된다.
• 붙임 기법을 통해 국소 해를 길이가 문제의 리프시츠 및 성장 매개변수에 따라 결정되는 상수에 의해 제한된 간격들에 걸쳐 연결함으로써 전역 해를 구성할 수 있다.
• 루오의 박사학위 논문에서 상세히 기술된 바와 같이, g와 h에 대해 더 강한 말레비안 도함수 조건을 가정할 경우 결과는 비마코프성 설정 및 랜덤한 확산 계수 설정으로 확장 가능하다.