[논문 리뷰] Multifractal analysis of Bernoulli convolutions associated with Salem numbers

De‐Jun Feng|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 10.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 30인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 (1,2)에 속한 사민 수의 역수인 λ⁻¹에 대해 베르누이 복합체 ν_λ에 대한 다중분포형식을 수립하며, α ∈ [τ′(∞), τ′(0+)]인 범위에서 국소 차원 α에 대한 수준집합의 하우스도르프 차원이 L^q 스펙트럼의 레전드르 변환 τ*(α)와 일치함을 증명한다. 이 결과는 점점 더 약한 분리 조건을 만족하는 자기유사 측도로 확장되며, 비어 있지 않은 국소 차원 범위를 가진 절대 연속적인 자기유사 측도의 예를 구성한다.

ABSTRACT

We consider the multifractal structure of the Bernoulli convolution $ν_λ$, where $λ^{-1}$ is a Salem number in $(1,2)$. Let $τ(q)$ denote the $L^q$ spectrum of $ν_λ$. We show that if $α\in [τ'(+\infty), τ'(0+)]$, then the level set $$E(α):={x\in \R:\; \lim_{r o 0}\frac{\log ν_λ([x-r, x+r])}{\log r}=α}$$ is non-empty and $\dim_HE(α)=τ^*(α)$, where $τ^*$ denotes the Legendre transform of $τ$. This result extends to all self-conformal measures satisfying the asymptotically weak separation condition. We point out that the interval $[τ'(+\infty), τ'(0+)]$ is not a singleton when $λ^{-1}$ is the largest real root of the polynomial $x^{n}-x^{n-1}-... -x+1$, $n\geq 4$. An example is constructed to show that absolutely continuous self-similar measures may also have rich multifractal structures.

연구 동기 및 목표

• λ⁻¹이 (1,2)에 속하는 사민 수일 때, 베르누이 복합체 ν_λ에 대한 다중분포형식을 수립하는 것.
• 수준집합 E(α)가 비어 있지 않은 국소 차원의 정확한 범위를 결정하고, 그들의 하우스도르프 차원을 계산하는 것.
• 점점 더 약한 분리 조건을 만족하는 자기동형 측도에 대해 다중분포형식의 타당성을 확장하는 것.
• 비퇴화된 국소 차원 범위를 가진 절대 연속적인 자기유사 측도의 예를 구성하는 것. 이는 이러한 풍부함이 비연속성을 암시한다는 가정에 도전한다.

제안 방법

• Θ_μ(q;r)를 서로소 공의 중심 x_i에 대해 ∑μ(B_r(x_i))^q의 상한으로 정의하고, log Θ_μ(q;r) / log r의 하한극한으로 L^q 스펙트럼 τ_μ(q)를 정의한다.
• 레전드르 변환 τ*(α) = inf{αq - τ(q) : q ∈ ℝ}을 사용하여 L^q 스펙트럼과 수준집합 E(α)의 하우스도르프 차원을 연결한다.
• IFS S₁(x) = λx - 1, S₂(x) = λx + 1을 통해 ν_λ의 자기유사 구조를 분석하고, 측도 방정식 ν_λ = ½ν_λ∘S₁⁻¹ + ½ν_λ∘S₂⁻¹를 이용한다.
• 사민 수의 성질과 실린더 집합의 구조를 이용하여 α ∈ [τ′(∞), τ′(0+)]인 범위에서 수준집합 E(α)의 비어 있지 않음을 증명한다.
• 특정 실린더 단어 I에 대해 #I / 2^k > λ^k를 만족시켜 점점 더 약한 분리 조건을 검증한다.
• 중심이 다른 가중치를 가진 3지점 IFS를 구성하여 비어 있지 않은 국소 차원 범위를 가진 절대 연속적인 자기유사 측도를 생성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 λ⁻¹이 사민 수일 때, 베르누이 복합체 ν_λ에 대해 다중분포형식이 성립하는가?
• RQ2 n ≥ 4일 때, x^n - x^{n-1} - ⋯ - x + 1의 가장 큰 실근인 λ⁻¹에 대해 구간 [τ′(∞), τ′(0+)]이 비퇴화된가?
• RQ3 절대 연속적인 자기유사 측도가 비어 있지 않은 국소 차원의 범위를 가진 풍부한 다중분포적 구조를 보일 수 있는가?
• RQ4 점점 더 약한 분리 조건을 만족하는 자기동형 측도에 대해 다중분포형식이 확장 가능한가?
• RQ5 λ⁻¹이 사민 수일 때 항상 τ′(∞) < 1인가? (피소트 수의 경우 그렇듯이)

주요 결과

• λ⁻¹이 (1,2)에 속하는 사민 수일 때, 모든 α ∈ [τ′(∞), τ′(0+)]에 대해 수준집합 E(α)는 비어 있지 않다.
• E(α)의 하우스도르프 차원은 L^q 스펙트럼의 레전드르 변환인 τ*(α)와 일치하며, 이는 다중분포형식의 확인을 의미한다.
• n ≥ 4일 때, λ⁻¹이 x^n - x^{n-1} - ⋯ - x + 1의 가장 큰 실근이면 구간 [τ′(∞), τ′(0+)]은 비퇴화된다.
• 비어 있지 않은 국소 차원의 범위를 가진 절대 연속적인 자기유사 측도의 예가 구성된다.
• λ ∈ (0.3405, 0.3439) 및 u ∈ (1/3, 1/2)일 때, L²-거의 모든 (λ,u)에 대해 μ_λ,u는 절대 연속이며, α의 비퇴화된 범위에서 유효한 다중분포형식을 가진다.
• 증명은 전이성과 log f(q)의 엄격한 볼록성에 기반하며, q > 1.5 및 λ < 0.3438일 때 τ(q,λ,u) = g(q,λ)임을 보장한다.