[논문 리뷰] Multifractal Analysis of The New Level Sets

Yiwei Dong, Xueting Tian|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 22.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 서로 다른 liminf 및 limsup Birkhoff 평균을 기반으로 비정규 집합을 수준 집합으로 분할함으로써 새로운 다중분포 분석 프레임워크를 제안한다. 거의 특성화 성질 하에, 이러한 정밀화된 수준 집합의 위상적 엔트로피에 대한 변분 원리를 수립하여, 주어진 평균을 갖는 불변 측도 위에서 측도론적 엔트로피의 상한이 엔트로피를 결정함을 보이며, 고전 결과를 비정규 및 혼합 정규-비정규 집합으로 확장한다.

ABSTRACT

By an appropriate definition, we divide the irregular set into level sets. Then we characterize the multifractal spectrum of these new pieces by calculating their entropies. We also compute the entropies of various intersections of the level sets of regular and irregular set which is rarely studied in the literature. Moreover, our conclusions also hold for the topological pressure. Finally, we consider the continuous case and use our results to give a description for the suspension flow.

연구 동기 및 목표

• 서로 다른 liminf 및 limsup Birkhoff 평균을 기반으로 한 수준 집합을 도입함으로써 동역학계의 다중분포 분해를 정밀화하는 것.
• 이러한 새로운 수준 집합의 위상적 엔트로피를 특별히 정규 집합과 비정규 집합의 교차에 대해 특성화하는 것.
• 휴면 흐름을 통해 연속적인 경우에 변분 원리를 확장하는 것.
• 수준 집합의 엔트로피와 불변 측도 사이의 연결 고리를 측도론적 엔트로피의 상한을 통한 초과로 설정하는 것.
• 지난 특성화 성질을 갖는 시스템으로 고전적인 다중분포 결과를 일반화하는 것. 이는 특성화 성질을 엄밀히 초월한다.

제안 방법

• 모든 $ c \leq d $ 에 대해 $ X_\varphi(c,d) = \{x \in X : \underline{\varphi}(x) = c, \overline{\varphi}(x) = d\} $ 라는 새로운 수준 집합을 정의하여, 서로 다른 하한 및 상한 Birkhoff 평균을 기반으로 공간을 분할한다.
• 거의 특성화 성질을 사용하여 궤도 접합의 존재를 보장하고, 주어진 에르고딕 평균을 갖는 측도의 구성이 가능하도록 한다.
• 위상적 압력에 대한 변분 원리를 적용하여, 수준 집합의 엔트로피가 고정된 평균 값과 관련된 $ h_\mu(T) + \int \psi \, d\mu $ 의 상한과 관련이 있음을 밝힌다.
• 이산 시스템의 휴면 흐름과 연속 흐름 사이의 대응 관계를, 복귀 시간의 스케일링을 통한 동형사상(의수)을 통해 설정한다.
• 모든 $ c \leq d $ 에 대해, $ X_\varphi(c,d) $ 가 공집합이거나 그 위상적 엔트로피가 $ \min_{\xi = c,d} \sup \{ h_\mu(T) : \int \varphi \, d\mu = \xi \} $ 와 같음을 증명한다.
• 다른 옥수함수를 갖는 휴면 흐름 간의 동형사상을 사용하여 일반적인 경우를 일정 옥수함수 경우로 축소함으로써 엔트로피 추정을 단순화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비정규 집합은 어떻게 서로 다른 liminf 및 limsup Birkhoff 평균을 기반으로 수준 집합으로 정밀화할 수 있으며, 이러한 집합의 엔트로피는 무엇인가?
• RQ2 정규 집합 $ R_{\varphi_1}(a) $ 와 비정규 집합 $ I_{\varphi_2} $ 의 교차에서의 위상적 엔트로피는 무엇이며, 언제 비어 있지 않은가?
• RQ3 거의 특성화 성질 하에 이러한 새로운 수준 집합의 엔트로피에 대해 변분 원리를 수립할 수 있는가?
• RQ4 이러한 정밀화된 수준 집합의 다중분포 스펙트럼은 불변 측도와 그 엔트로피와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 휴면 흐름을 통해 연속 시간 시스템으로 결과를 확장할 수 있으며, 옥수함수는 수준 집합의 엔트로피에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 모든 연속 함수 $\varphi_1, \varphi_2 $ 에 대해, 교차 $ R_{\varphi_1}(a) \cap I_{\varphi_2} $ 는 최대 위상적 엔트로피를 갖거나 공집합이다.
• 만약 $ R_{\varphi_1}(a) \cap I_{\varphi_2} \neq \emptyset $ 이면, 그 위상적 엔트로피는 $ \sup \{ h_\mu(T) : \int \varphi_1 \, d\mu = a \} $ 와 같으며, 이는 고전적 변분 원리를 혼합 정규-비정규 집합으로 확장한다.
• 모든 $ c \leq d $ 에 대해, $ X_\varphi(c,d) $ 의 위상적 엔트로피는 $ \min_{\xi = c,d} \sup \{ h_\mu(T) : \int \varphi \, d\mu = \xi \} $ 와 같으며, 집합이 비어 있지 않은 경우에 한해 성립한다.
• 가중 Birkhoff 평균에 대한 수준 집합 $ X_{\varphi,\rho}(c,d) $ 의 엔트로피는 $ P_{X_{\varphi,\rho}(c,d)}(\psi) = \min_{\xi = c,d} \sup \{ h_\mu(T) + \int \psi \, d\mu : \frac{\int \varphi \, d\mu}{\int \rho \, d\mu} = \xi \} $ 를 만족한다.
• 휴면 흐름의 경우, 수준 집합 $ X^\rho_\Phi(\Psi,c,d) $ 의 위상적 엔트로피는 $ \min_{\xi = c,d} \sup \{ h_{\mu_\rho}(T) : \int \Phi \, d\mu_\rho = \xi \} $ 와 같으며, 여기서 $ \mu_\rho $ 는 스텝된 시스템에 유도된 측도이다.
• 결과는 위상적 압력에 대해서도 성립하며, 옥수함수가 일정하지 않은 경우에도 휴면 흐름에서 수준 집합의 엔트로피는 동형사상에 의해 유지된다.