[논문 리뷰] Multigrid reduction preconditioning framework for coupled processes in porous and fractured media

Quan M. Bui, François P. Hamon외 4명|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 27.

Hydraulic Fracturing and Reservoir Analysis참고 문헌 64인용 수 27

한 줄 요약

이 논문은 유역 내 유동, 기계적 거동 및 균열 형성과 관련된 대규모 결합 선형 시스템을 해결하기 위한 물리 기반의 대수적 멀티그리드 감소(MGR) 조건화 프레임워크를 제안한다. 블록 구조와 물리 기반의 군집화를 활용함으로써, 다양한 이산화 방법에 적용 가능한 확장성 있고 효율적인 전치조건자 기반의 완전 음성 시간 스텝 방법을 실현한다. 단상유동, 웰이 포함된 조성 유동, 수압 균열 형성 문제에 대해 검증되었으며, 현장 규모 문제에서 강한 및 약한 확장성을 확보하였다.

ABSTRACT

Many subsurface engineering applications involve tight-coupling between fluid flow, solid deformation, fracturing, and similar processes. To better understand the complex interplay of different governing equations, and therefore design efficient and safe operations, numerical simulations are widely used. Given the relatively long time-scales of interest, fully-implicit time-stepping schemes are often necessary to avoid time-step stability restrictions. A major computational bottleneck for these methods, however, is the linear solver. These systems are extremely large and ill-conditioned. Because of the wide range of processes and couplings that may be involved--e.g. formation and propagation of fractures, deformation of the solid porous medium, viscous flow of one or more fluids in the pores and fractures, complicated well sources and sinks, etc.--it is difficult to develop general-purpose but scalable linear solver frameworks. This challenge is further aggravated by the range of different discretization schemes that may be adopted, which have a direct impact on the linear system structure. To address this obstacle, we describe a flexible framework based on multigrid reduction that can produce purely algebraic preconditioners for a wide spectrum of relevant physics and discretizations. We demonstrate its broad applicability by constructing scalable preconditioners for several problems, notably: a hybrid discretization of single-phase flow, compositional multiphase flow with complex wells, and hydraulic fracturing simulations. Extension to other systems can be handled quite naturally. We demonstrate the efficiency and scalability of the resulting solvers through numerical examples of difficult, field-scale problems.

연구 동기 및 목표

• 완전 음성 시간 이산화에 기인한 대규모이고 악조건인 선형 시스템을 해결하는 데서 발생하는 계산적 병목 현상을 해결한다.
• 유동, 기계학적 거동, 균열 형성 등의 다양한 물리 현상과 미미한 유한차분, 유한체적 방법 등 다양한 이산화 방법에 적용 가능한 일반 목적의 확장성 있는 선형 해법 프레임워크를 개발한다.
• 기존 블록 전치조건자들이 매우 전문화되어 있어 수동 조정이 필요하거나 복잡한 대규모 문제에 대해 확장성이 떨어지는 한계를 극복한다.
• 탄소 저장, 지열 에너지, 비전통적 수소탄화물 회수 분야에서 고해상도 시뮬레이션을 위한 효율적이고 이식 가능한 해법 전략을 제공한다.
• 단순한 현장 규모 문제에서 복잡한 결합과 비균질 매질을 포함한 실제 문제에 대해 프레임워크의 강건성과 확장성을 입증한다.

제안 방법

• 유동, 기계학적 거동, 운반 현상 등의 물리적 필드(예: 압력, 포화도, 변위)를 블록으로 표현하여 결합 시스템을 B×B 블록 선형 시스템(Ax = b)으로 수식화한다.
• 기하학적 가정 없이 순수 대수적 프레임워크로서 멀티그리드 감소(MGR)를 적용하여 기하학적 정보에 의존하지 않는 전치조건자를 구축한다. 이는 비구조적 및 복잡한 격자에의 적용 가능성을 보장한다.
• 물리 기반의 군집화와 스무스러의 선택을 통해 시스템의 구조, 특히 유동, 기계학적 거동, 운반 현상 간의 결합을 유지한다.
• 비선형 시간 적분을 위해 뉴턴 방법과 통합하여 각 뉴턴 단계에서 유도된 자코비안 시스템을 효율적으로 해결한다.
• 기존의 해법 라이브러리(PETSc, Trilinos 등)를 활용하여 다양한 시뮬레이터 간에 모듈식이고 확장 가능하며 이식 가능한 구현을 가능하게 한다.
• 재구현 없이도 빠르게 해법 파rameter(예: 감소 순서, 스무스러 유형, 군집 격자 연산자)를 탐색할 수 있도록 프레임워크를 설계한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 목적의 대수적 멀티그리드 감소(MGR) 프레임워크가 결합된 유동-지구역학 시뮬레이션에서 유도된 대규모 블록 구조 선형 시스템을 효과적으로 전치조건자로 활용할 수 있는가?
• RQ2 단상유동, 웰이 포함된 조성 유동, 수압 균열 형성 문제를 포함한 복잡한 현장 규모 문제에서 MGR 프레임워크의 확장성과 수렴 성능은 어떠한가?
• RQ3 대수적 MGR 프레임워크 내에서 물리 기반의 군집화와 블록 구조를 얼마나 효과적으로 활용하여 다양한 이산화 방법에 대해 강건성을 유지할 수 있는가?
• RQ4 복잡하고 밀접하게 결합된 시스템에서 MGR이 전통적인 블록 전치조건자(CPR, 고정 응력 등)보다 수렴 속도와 병렬 확장성 측면에서 뛰어나게 성능을 발휘할 수 있는가?
• RQ5 MGR 프레임워크는 재구성 없이도 다양한 유형의 웰 모델과 비선형성(예: 상전이, 균열 전파)을 얼마나 잘 처리할 수 있는가?

주요 결과

• MGR 전치조건자는 세 가지 테스트 케이스 모두에서 강건한 수렴 성능을 보였다: 하이브리드 미미한 유한차분 단상유동, 복잡한 웰을 포함한 조성 다상유동, 수압 균열 형성 시뮬레이션.
• 대규모 현장 규모 문제에서 강한 및 약한 확장성을 입증하였으며, 수천 개의 프로세서에서 거의 선형적인 속도 향상을 확보하였다.
• 수압 균열 형성 문제에서는 균열 개방도, 유체 압력, 고체 변형 간의 강한 비선형 결합을 효과적으로 처리하였으며, 동적 전파 단계에서도 안정적으로 작동하였다.
• 미미한 유한차분과 유한체적 방법을 포함한 다양한 이산화 방법에 대해 효율성을 유지하여, 그 일반성과 적응 가능성의 우수함을 입증하였다.
• 문제 특화 조정 없이도 완전 음성 시스템을 효율적으로 해결할 수 있었으며, 해법 설정 시간과 계산 비용을 크게 감소시켰다.
• 수치적 결과는 MGR이 복잡한 결합이 있는 악조건의 대규모 시스템에서 표준 블랙박스 전치조건자보다 수렴 속도와 확장성 측면에서 뛰어나다는 것을 확인하였다.