[논문 리뷰] Multimode Gaussian optimizers for the Wehrl entropy and quantum Gaussian channels

Giacomo De Palma, Dario Trevisan외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 01.

Quantum Information and Cryptography참고 문헌 2인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 다모드 영역에서 주어진 바르누이 엔트로피를 가진 모든 양자 상태 중에서 열적 가우시안 상태가 Wehrl 엔트로피를 최소화함을 입증하며, 또한 다모드 양자 가우시안 채널의 출력 바르누이 엔트로피를 주어진 입력 상태가 곱 기저에서 대각화된 조건에서 최소화하는 것도 밝혀냈다. 이러한 결과는 양자-클래식 및 클래식-양자 채널에 대한 제약 조건이 있는 최소 출력 엔트로피의 가법성에 기반하여 유도되었으며, 이는 이전의 한 모드 결과를 확장하고 양자정보이론에서 오랫동안 남아있던 최소 출력 엔트로피 추측에 강력한 증거를 제공한다.

ABSTRACT

We prove in the multimode scenario a fundamental relation between the Wehrl and the von Neumann entropy, stating that the minimum Wehrl entropy among all the quantum states with a given von Neumann entropy is achieved by thermal Gaussian states. We also prove that thermal Gaussian input states minimize the output von Neumann entropy of multimode quantum Gaussian attenuators, amplifiers and phase-contravariant channels among all the input states diagonal in some product basis and with a given entropy. This result constitutes a major step towards the proof of the same property for generic input states, which is still an open conjecture. This conjecture is necessary to determine the maximum communication rates for the triple trade-off coding and broadcast communication with the Gaussian quantum-limited attenuator. Finally, we prove that the tensor product of n identical geometric input probability distributions minimizes the output Shannon entropy of the n-mode thinning among all the input probability distributions with a given entropy.

연구 동기 및 목표

• 한 모드에서 Wehrl 엔트로피와 바르누이 엔트로피 간의 기본적 관계를 다모드 양자 영역으로 확장하는 것.
• 고정된 엔트로피를 가진 곱 기저에서 대각화된 입력 상태 중에서 다모드 양자 가우시안 감쇠기, 증폭기, 위상 역변조 채널의 출력 바르누이 엔트로피를 최소화하는 열적 가우시안 입력 상태가 존재함을 증명하는 것.
• 임의의 입력 상태를 가진 양자 가우시안 채널에 대한 일반적인 최소 출력 엔트로피 추측을 증명하기 위한 주요 단계를 마련하는 것.
• 얇은 변환 맵에 대한 제약 조건이 있는 최소 출력 엔트로피 성질의 다모드 확장을 확립하여 기하 분포가 출력 샤논 엔트로피를 최소화함을 보이는 것.

제안 방법

• 유도와 볼록성 논증을 사용하여 양자-클래식 및 클래식-양자 채널에 대한 제약 조건이 있는 최소 출력 엔트로피(CMOE)의 가법성을 증명하였다.
• 가법성 결과를 적용하여 주어진 바르누이 엔트로피 조건에서 다모드 상황에서 열적 가우시안 상태가 최소 Wehrl 엔트로피를 달성함을 입증하였다.
• 가법성 프레임워크를 활용하여 곱 기저에서 대각화된 입력 상태 조건 하에서 n-모드 텐서곱 양자 가우시안 채널의 출력 바르누이 엔트로피를 최소화하는 n-모드 열적 가우시안 상태를 보였다.
• 가장 기존의 한 모드 결과와 가법성 결과를 활용하여 양식의 얇은 변환 맵에 대한 CMOE 성질을 n-모드로 확장하였다.
• 특히 엔트로피 함수 g(λ)와 그 역함수를 포함하는 복합 함수의 볼록성과 단조성 분석을 통해 필요한 부등식을 증명하기 위해 엔트로피 함수의 성질을 활용하였다.
• 엔트로피 함수 g와 그 역함수를 포함하는 복합 함수의 볼록성과 단조성에 관한 보조 정리를 활용하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 한 모드의 경우와 마찬가지로 주어진 바르누이 엔트로피 조건에서 최소 Wehrl 엔트로피가 다모드 영역에서도 열적 가우시안 상태에 의해 달성되는가?
• RQ2 곱 기저에서 대각화된 입력 상태 조건 하에서 다모드 설정에서 양자 가우시안 채널에 대한 제약 조건이 있는 최소 출력 엔트로피 추측을 증명할 수 있는가?
• RQ3 주어진 엔트로피를 가진 모든 입력 분포 중에서 n-모드 얇은 변환 맵의 출력 엔트로피가 동일한 기하 분포의 텐서곱에 의해 최소화되는가?
• RQ4 다모드 설정에서 양자-클래식 및 클래식-양자 채널에 대해 제약 조건이 있는 최소 출력 엔트로피의 가법성이 성립하는가?
• RQ5 가법성 프레임워크를 활용하여 얇은 변환 맵에 대한 최소 출력 엔트로피 성질의 다모드 확장을 엄밀하게 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 주어진 바르누이 엔트로피를 가진 모든 양자 상태 중에서 다모드 상황에서 최소 Wehrl 엔트로피는 열적 가우시안 상태에 의해 달성되며, 이는 이전에 한 모드에서만 증명된 추측을 확인한다.
• 다모드 양자 가우시안 채널(감쇠기, 증폭기, 위상 역변조 채널)에서 곱 기저에서 대각화된 고정된 엔트로피를 가진 모든 입력 상태 중에서 열적 가우시안 입력 상태가 출력 바르누이 엔트로피를 최소화한다.
• 이 결과는 아직 임의의 입력 상태에 대해 열려있는 일반적인 최소 출력 엔트로피 추측에 강력한 증거를 제공하며, 삼중 무역 및 브로드캐스트 양자 통신에서 최대 통신 속도를 결정하는 데 핵심적이다.
• 주어진 엔트로피를 가진 모든 입력 분포 중에서 n-모드 얇은 변환 맵의 출력 샤논 엔트로피는 동일한 기하 분포의 텐서곱에 의해 최소화되며, 이는 기존의 한 모드 결과를 확장한 것이다.
• 양자-클래식 및 클래식-양자 채널에 대해 제약 조건이 있는 최소 출력 엔트로피의 가법성이 엄밀히 증명되었으며, 이는 한 모드 결과를 다모드 영역으로 확장할 수 있게 하였다.
• 증명은 특히 엔트로피 함수 g(λ)의 역함수를 포함하는 새로운 볼록성 및 단조성 성질에 기반하였으며, 이는 로그 함수와 유리 함수의 세밀한 분석을 통해 확립되었다.