[논문 리뷰] Multipartite entangled states, symmetric matrices and error-correcting codes

Keqin Feng, Lingfei Jin외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 25.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 대칭 행렬과 고전적 오류 수정 코드를 사용하여 $k$-균일한 다중 부분 양자 상태의 두 가지 새로운 구성법을 제시한다. 짝수 $n$ 과 충분히 큰 소수 $d$ 에 대해 $n/2$-균일한 $n$-큐비트 상태의 존재성을 증명하고, $k = \Omega(n)$ 의 균일성을 확립하며, $3$-균일 상태를 모든 $n \geq 8$ 에 대해 구성함으로써 열린 문제를 해결한다. 대칭 행렬 방법은 더 높은 $k$-균일성을 달성하는 데 있어 코드 기반 접근보다 뛰어나다.

ABSTRACT

A pure quantum state is called $k$-uniform if all its reductions to $k$-qudit are maximally mixed. We investigate the general constructions of $k$-uniform pure quantum states of $n$ subsystems with $d$ levels. We provide one construction via symmetric matrices and the second one through classical error-correcting codes. There are three main results arising from our constructions. Firstly, we show that for any given even $n\ge 2$, there always exists an $n/2$-uniform $n$-qudit quantum state of level $p$ for sufficiently large prime $p$. Secondly, both constructions show that their exist $k$-uniform $n$-qudit pure quantum states such that $k$ is proportional to $n$, i.e., $k=Ω(n)$ although the construction from symmetric matrices outperforms the one by error-correcting codes. Thirdly, our symmetric matrix construction provides a positive answer to the open question in \cite{DA} on whether there exists $3$-uniform $n$-qudit pure quantum state for all $n\ge 8$. In fact, we can further prove that, for every $k$, there exists a constant $M_k$ such that there exists a $k$-uniform $n$-qudit quantum state for all $n\ge M_k$. In addition, by using concatenation of algebraic geometry codes, we give an explicit construction of $k$-uniform quantum state when $k$ tends to infinity.

연구 동기 및 목표

• 모든 $n \geq 8$ 에 대해 $3$-균일한 $n$-큐비트 순수 양자 상태가 존재하는지 여부에 대한 열린 문제를 해결하기 위해.
• 임의의 $n$ 에 대해 $k$ 가 $n$ 과 비례하는, 즉 $k = \Omega(n)$ 이 되는 $k$-균일한 $n$-큐비트 양자 상태를 구성하기 위해.
• 고정된 $k$ 에 대해 모든 $n \geq M_k$ 에 대해 $k$-균일 상태가 존재함을 보장하기 위해, $M_k$ 는 $k$ 에 따라 달라지는 상수이다.
• 특히 대수기하 코드를 포함한 대칭 행렬과 고전적 오류 수정 코드를 사용하여 점점 커지는 $k \to \infty$ 에 대해 명시적인 구성법을 제공하기 위해.
• 높은 $k$-균일성을 달성하는 데 있어 대칭 행렬 방법과 코드 기반 방법의 성능을 비교하기 위해.

제안 방법

• $\mathbb{Z}_d^n$ 에서 $\mathbb{C}$ 로의 사상에 기반하여 $k$-균일한 양자 상태를 정의하고, 이러한 상태를 구성하기 위한 등가적 특성화를 제공한다.
• 유한체 위의 대칭 행렬을 사용하여 $k$-균일 상태를 구성하며, 그 대수적 구조를 활용해 최대 혼합 감소를 보장한다.
• 큰 최소 거리와 쌍대 거리를 갖는 고전적 오류 수정 코드를 통해 $k$-균일 상태를 구성하며, 양자 코드와 수직 배열 간의 이중성 관계를 활용한다.
• 대수기하 코드의 연결을 통해 $k$ 가 무한으로 갈 때 $k$-균일 상태를 얻고, 점점 커지는 구성법을 가능하게 한다.
• 모든 짝수 $n \geq 2$ 에 대해 충분히 큰 소수 $p$ 에 대해 수준 $p$ 의 $n/2$-균일한 $n$-큐비트 상태가 존재함을 증명한다.
• 대칭 행렬 구성법이 코드 기반 방법보다 더 높은 $k$-균일성을 달성함을 보여주며, 특히 큰 $n$ 에서 두드러진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $n \geq 8$ 에 대해 $3$-균일한 $n$-큐비트 순수 양자 상태가 존재하는가?
• RQ2 $k$ 가 $n$ 과 비례하는, 즉 $k = \Omega(n)$ 이 되는 $k$-균일한 $n$-큐비트 상태를 구성할 수 있는가?
• RQ3 고정된 $k$ 에 대해 상수 $M_k$ 가 존재하여 모든 $n \geq M_k$ 에 대해 $k$-균일한 $n$-큐비트 상태가 존재하는가?
• RQ4 $k$ 가 무한으로 갈 때 $k$-균일 상태의 명시적 구성법을 얻을 수 있는가?
• RQ5 대칭 행렬 방법과 오류 수정 코드 방법은 높은 $k$-균일성을 달성하는 데 있어 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 모든 짝수 $n \geq 2$ 에 대해 충분히 큰 소수 $p$ 에 대해 수준 $p$ 의 $n/2$-균일한 $n$-큐비트 양자 상태가 존재한다.
• 두 구성법 모두 $k = \Omega(n)$ 의 $k$-균일 상태를 제공하여 큰 $n$ 에서 높은 균일성이 달성됨을 보여준다.
• 대칭 행렬 구성법은 DA에서 제기한 열린 문제에 대해 $n \geq 8$ 에 대해 모든 $n$ 에 대해 $3$-균일한 $n$-큐비트 상태의 존재성을 긍정적으로 해결한다.
• $k$ 가 주어질 때마다 상수 $M_k$ 가 존재하여 모든 $n \geq M_k$ 에 대해 $k$-균일한 $n$-큐비트 상태가 존재한다.
• 대수기하 코드의 연결을 통해 $k$ 가 무한으로 갈 때 $k$-균일한 양자 상태의 명시적 구성법을 제시한다.
• 특히 큰 $n$ 에서 대칭 행렬 방법이 오류 수정 코드 방법보다 더 높은 $k$-균일성을 달성하는 데 뛰어나다.