[논문 리뷰] Multipartite entanglement in two-dimensional chiral topological liquids

Yuhan Liu, Yuya Kusuki외 3명|arXiv (Cornell University)|2023. 01. 17.

Quantum many-body systems참고 문헌 39인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유합장 이론과 고체-경계 상응 원리에 기반하여 이중 차원 편극성 위상적 액체에서 다중 부분 엔트로피를 분석하는 프레임워크를 제공한다. 유리성 유합장 이론에서 $ p $-정점 상태에 대해 보편적인 마르코프 갭 $ h = \frac{c}{3}\ln 2 $ 를 도출하며, 이는 이분할 측정을 넘어서는 위상적 엔트로피 구조를 설명하고 수치적 증거로 확인된다.

ABSTRACT

The multipartite entanglement structure for the ground states of two dimensional topological phases is an interesting albeit not well understood question. Utilizing the bulk-boundary correspondence, the calculation of tripartite entanglement in 2d topological phases can be reduced to that of the vertex state, defined by the boundary conditions at the interfaces between spatial regions. In this paper, we use the conformal interface technique to calculate entanglement measures in the vertex state, which include area law terms, corner contributions, and topological pieces, and a possible additional order one contribution. This explains our previous observation of the Markov gap $h = \frac{c}{3} \ln 2$ in the 3-vertex state, and generalizes this result to the $p$-vertex state, general rational conformal field theories, and more choices of subsystems. Finally, we support our prediction by numerical evidence, finding precise agreement.

연구 동기 및 목표

• 이분할 엔트로피의 진전에도 불구하고 여전히 이해가 부족한 2D 편극성 위상적 상에서의 다중 부분 엔트로피에 대한 분석적 이해를 확립하기 위해.
• 이전에 자유 페르미온 모델에서 관측된 보편적인 마르코프 갭 $ h = \frac{c}{3}\ln 2 $ 을 일반적인 유리성 유합장 이론과 $ p $-정점 상태로 일반화하기 위해.
• 결함 CFT와 유합 경계 기법을 활용하여 삼분할 및 그 이상의 엔트로피 측정법—예를 들어 반사 엔트로피와 엔트로피 부정성—을 체계적으로 계산하는 방법을 수립하기 위해.
• 클라우저 고립체 라티스 모델에서 수치적으로 관측된 바와 같이 마르코프 갭이 $ h \geq \frac{c}{3}\ln 2 $ 를 만족하는 하한선이 되는 데 대한 분석적 근거를 제공하기 위해.
• 마르코프 갭이 위상적 액체에서 안정적이고 끊어지지 않는 표면 모드의 보편적 징후임을 입증하고, 이는 편극성 중심 차수 $ c $ 와 연결됨을 보여주기 위해.

제안 방법

• 2D 위상적 기저 상태의 엔트로피 구조를 고체-경계 상응 원리를 통해 결함이 있는 리만 표면 위의 경계 유합장 이론(CFT)으로 매핑한다.
• 공간 접합부의 경계 조건을 캐릭터라이즈하는 정점 상태에서 엔트로피 측정을 계산하기 위해 유합 경계 기법을 적용한다.
• 1+1차원 CFT에서의 트위스트 연산자 형식을 활용하여 감소 밀도 행렬의 모멘트를 계산하고, 엔트로피, 상호정보량, 반사 엔트로피, 부정성 등을 추출한다.
• 오일러-플랑크-휴르비츠 공식을 통해 복소수의 종수를 유도하여 상호작용 상수의 위상적 의존성을 규명한다.
• 반사 엔트로피의 OPE 계수를 보편적이라고 간주하고, 이를 분석적으로 $ C_{n,m} = (2m)^{-4h_n} $ 로 평가함으로써 보편적인 $ \frac{c}{3}\ln 2 $ 마르코프 갭을 도출한다.
• 수치 시뮬레이션을 통해 분석 결과를 검증하여 예측된 보편적 행동과 정확한 일치를 보였다.

Figure 1: (a) Spacetime path integral representation of the regularized boundary state $|\mathbf{B}\rangle$ starting from the unregularized boundary state $|B\rangle$ as the initial condition, as well as $\langle B|$ and $\langle\mathbf{B}|$ as path integral. The vertical direction denotes the imagi

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자유 페르미온 위상적 상에서 관측된 보편적인 마르코프 갭 $ h = \frac{c}{3}\ln 2 $ 가 일반적인 편극성 위상적 액체에 대해 분석적으로 도출될 수 있는가?
• RQ2 특히 반사 엔트로피와 엔트로피 부정성과 같은 다중 부분 엔트로피의 구조는 공간 분할의 위상과 기초가 되는 CFT에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ3 결함 및 경계 CFT 기법은 2D 위상적 상의 정점 상태에서 엔트로피 측정을 계산하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 마르코프 갭은 자유 페르미온 모델을 초월하여 상호작용이 있는 유리성 CFT에서도 편극성 중심 차수 $ c $ 를 신뢰할 수 있는 지표로 사용할 수 있는가?
• RQ5 반사 엔트로피와 엔트로피 부정성의 복소수 기법에서 OPE 계수를 분석적으로 계산하여 보편적인 위상적 기여를 드러낼 수 있는가?

주요 결과

• 유리성 유합장 이론에서 $ p $-정점 상태의 마르코프 갭이 분석적으로 $ h = \frac{c}{3}\ln 2 $ 로 도출되었으며, 이는 이러한 위상적 엔트로피 징후의 보편성을 확인한다.
• 반사 엔트로피와 상호정보량은 트위스트 연산자의 삼중함수를 통해 계산되며, OPE 계수로부터 마르코프 갭에 보편적인 $ \frac{c}{3}\ln 2 $ 기여가 유도된다.
• 엔트로피 부정성은 고종수 리만 표면에서의 비보편적 OPE 계수로 인해 보편적인 로그 항을 제공하지 않아 반사 엔트로피와 구별된다.
• 클라우저 고립체 라티스 모델에서의 수치 시뮬레이션은 분석 예측을 확인하였으며, 마르코프 갭이 $ \frac{c}{3}\ln 2 $ 에서 하한선으로 제한됨을 보여주며 이상적인 CFT 근처에서 등호가 성립함을 확인하였다.
• 고체-경계 상응 원리로부터 유도된 정점 상태 형식은 CFT 기법을 통해 위상적 상에서 다중 부분 엔트로피를 정확하게 계산할 수 있게 한다.
• 결과적으로 마르코프 갭은 2D 위상적 액체에서 안정적이고 끊어지지 않는 표면 모드의 존재를 나타내는 보편적 탐지기로 기능하며, 이는 편극성 중심 차수 $ c $ 와 관련된다.

Figure 2: The spacetime path integral can be constructed by gluing annulus amplitudes (the annulus has width $2\beta$ and circumference $L$ ). Here, as an example, $Z_{1}={\text{tr}}\,(\rho)$ is constructed for (a) $p=2$ and (b) $p=3$ . After the gluing, the spacetime manifold becomes torus and 2-ge