[논문 리뷰] Multiparty Communication Complexity of Disjointness

Arkadev Chattopadhyay, Anil Ada|ArXiv.org|2008. 01. 23.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 20인용 수 63

한 줄 요약

이 논문은 '앞에 숫자가 있는 모델'에서 Disjointness 함수의 랜덤화된 $k$-파트너 커뮤니케이션 복잡도에 대해 초수렴 하한 $Ω\bigg{(}\frac{n^{\frac{1}{k+1}}}{2^{2^{k}}(k-1)2^{k-1}}\bigg{)}$를 확립한다. 이를 위해 Sherstov의 근사 다항식 차수 기법의 확장과 Chattopadhyay의 불일치 추정 기법을 조합하였다. 결과적으로 $k = o(\log\log n)$일 때 $\text{BPP}^{CC}_{k}$와 $\text{NP}^{CC}_{k}$를 분리하며, 비결정성 복잡도보다 랜덤화 복잡도가 지수적으로 높은 첫 번째 명시적 함수를 제공한다.

ABSTRACT

We obtain a lower bound of n^Omega(1) on the k-party randomized communication complexity of the Disjointness function in the `Number on the Forehead' model of multiparty communication when k is a constant. For k=o(loglog n), the bounds remain super-polylogarithmic i.e. (log n)^omega(1). The previous best lower bound for three players until recently was Omega(log n). Our bound separates the communication complexity classes NP^{CC}_k and BPP^{CC}_k for k=o(loglog n). Furthermore, by the results of Beame, Pitassi and Segerlind \cite{BPS07}, our bound implies proof size lower bounds for tree-like, degree k-1 threshold systems and superpolynomial size lower bounds for Lovasz-Schrijver proofs. Sherstov \cite{She07b} recently developed a novel technique to obtain lower bounds on two-party communication using the approximate polynomial degree of boolean functions. We obtain our results by extending his technique to the multi-party setting using ideas from Chattopadhyay \cite{Cha07}. A similar bound for Disjointness has been recently and independently obtained by Lee and Shraibman.

연구 동기 및 목표

• 다자 커뮤니케이션 복잡도의 격차를 좁히기 위해 '앞에 숫자가 있는 모델'에서 Disjointness 함수에 대해 강력한 하한을 확립하는 것.
• 기존의 불일치 방법의 한계를 극복하기 위해 Sherstov의 이원자 근사 다항식 차수 기법을 다자 환경으로 확장하는 것.
• $k = o(\log\log n)$일 때 명시적 함수를 통해 $\text{BPP}^{CC}_{k}$와 $\text{NP}^{CC}_{k}$를 분리하는 것.
• 커뮤니케이션 복잡도 결과를 바탕으로 트리 구조, 차수 $k-1$의 임계값 체계와 Lovász-Schrijver 증명 체계에 대한 증명 크기 하한을 유도하는 것.

제안 방법

• 불리어 함수의 근사 다항식 차수 기반으로 Sherstov 기법을 비균일 분포를 사용하는 다자 환경으로 확장한다.
• Chattopadhyay [8]의 불일치 추정 도구를 활용하여 일반화된 불일치 방법에서 비균일 분포를 다룬다.
• 일반화된 함수 $G^{f}_{k}(x, y^1, \ldots, y^{k-1}) = f(x \Leftarrow y^1, \ldots, y^{k-1})$를 사용한다. 여기서 $x \Leftarrow y^1, \ldots, y^{k-1}$는 $y^i$ 행렬의 모든 1-행렬 열 위치에서 $x$의 비트를 선택하여 만든 문자열이다.
• 대칭 함수의 근사 다항식 차수에 대해 Paturi의 정리를 적용하여 NOR 함수의 차수를 입력 크기 $m$에 대해 $\Theta(\sqrt{m})$로 유계화한다.
• 다음 부등식을 통해 $R^\epsilon_k(G^f_k)$의 하한을 도출한다: $R^\epsilon_k(G^f_k) \geq \frac{d}{2^{k-1}} + \log(\delta + 2\epsilon - 1)$, 여기서 $d$는 $f$의 $\delta$-근사 다항식 차수이다.
• 강화 기법을 사용하여 $\epsilon > 1/6$에서의 하한을 임의의 상수 $\epsilon > 0$으로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 불일치 방법을 확장하여 $k$-파트너 '앞에 숫자가 있는 모델'에서 Disjointness 함수에 대해 초로그 하한을 도출할 수 있는가?
• RQ2 다자 환경에서 랜덤화 복잡도와 비결정성 복잡도 사이에 지수적 격차를 보이는 명시적 함수가 존재하는가?
• RQ3 Sherstov의 근사 다항식 기법을 다자 커뮤니케이션 모델로 일반화하여 기존 불일치 방법의 한계를 우회할 수 있는가?
• RQ4 강력한 다자 커뮤니케이션 하한은 특히 임계값 및 Lovász-Schrijver 증명 체계에 대해 증명 복잡도에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 임의의 상수 $\epsilon > 0$에 대해 Disjointness 함수의 $k$-파트너 랜덤화 커뮤니케이션 복잡도는 $\Omega\bigg{(}\frac{n^{\frac{1}{k+1}}}{2^{2^{k}}(k-1)2^{k-1}}\bigg{)}$이다.
• 상수 $k$에 대해 이는 $n^{\Omega(1)}$의 하한을 제공하며, 이는 세 명의 플레이어에 대해 이전의 $\Omega(\log n)$ 하한보다 상당한 향상이다.
• $k = o(\log\log n}$일 때 $\text{BPP}^{CC}_{k}$와 $\text{NP}^{CC}_{k}$를 분리하며, $k$가 상수일 경우 지수적 분리가 이루어진다.
• 이 하한은 트리 구조, 차수 $k-1$의 임계값 체계에 대해 강력한 증명 크기 하한을 암시하며, 문장 증명 복잡도 분야의 주요 열린 문제를 해결한다.
• 동일한 하한은 $O(\log n)$비 비결정성 프rotocol를 갖는 $G^{\text{OR}}_k$ 함수에도 적용되며, $\text{BPP}^{CC}_{k}$와 $\text{NP}^{CC}_{k}$ 사이의 분리를 확인한다.
• 임의의 대칭 함수 $D$에 대해 $G^D_k$의 커뮤니케이션 복잡도는 $\Omega\bigg{(}\Psi(\ell_0) + \frac{T(\ell_1)}{2^{k-1}}\bigg{)}$이다. 여기서 $T(n)$은 $n$, $k$ 및 $D$의 근사 다항식 차수에 관한 함수이다.