[논문 리뷰] Multiple block sizes and overlapping blocks for multivariate time series extremes

Nan Zou, Stanislav Volgushev외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 22.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 36인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 다변량 블록 최대값 방법에서 겹치는 블록과 다중 블록 크기를 사용하여 점점 줄어드는 점근적 분산을 달성하면서도 편향을 증가시키지 않고, 블록 크기 간에 균일한 기능적 중심극한정리들을 도출함으로써, 균일한 기능적 중심극한정리들을 달성한다. 이 접근법은 편향 보정 추정기법을 통해 극값 코풀라와 제2차 수준 파라미터의 추정을 향상시키며, 수렴 속도를 높인다.

ABSTRACT

Block maxima methods constitute a fundamental part of the statistical toolbox in extreme value analysis. However, most of the corresponding theory is derived under the simplifying assumption that block maxima are independent observations from a genuine extreme value distribution. In practice however, block sizes are finite and observations from different blocks are dependent. Theory respecting the latter complications is not well developed, and, in the multivariate case, has only recently been established for disjoint blocks of a single block size. We show that using overlapping blocks instead of disjoint blocks leads to a uniform improvement in the asymptotic variance of the multivariate empirical distribution function of rescaled block maxima and any smooth functionals thereof (such as the empirical copula), without any sacrifice in the asymptotic bias. We further derive functional central limit theorems for multivariate empirical distribution functions and empirical copulas that are uniform in the block size parameter, which seems to be the first result of this kind for estimators based on block maxima in general. The theory allows for various aggregation schemes over multiple block sizes, leading to substantial improvements over the single block length case and opens the door to further methodology developments. In particular, we consider bias correction procedures that can improve the convergence rates of extreme-value estimators and shed some new light on estimation of the second-order parameter when the main purpose is bias correction.

연구 동기 및 목표

• 유한한 블록 크기와 블록 간의 의존성 하에서 다변량 시간열에 대한 블록 최대값 방법의 이론적 개발 부족을 해결한다.
• 불연속 블록의 한계를 극복하기 위해 겹치는 블록을 도입하여 다변량 경험분포함수와 코풀라에서 점근적 분산을 감소시킨다.
• 블록 크기 파라미터에 대해 균일한 기능적 중심극한정리를 도출한다. 이는 블록 최대값 추정기에서 새로운 결과이다.
• 다양한 블록 크기를 사용한 편향 보정 절차를 가능하게 하여 극값 추정기의 수렴 속도를 향상시킨다.
• 다양한 블록 크기에서 추정기의 집계를 위한 이론적 기반을 제공함으로써, 극값 추론에서의 강건성과 효율성을 향상시킨다.

제안 방법

• 성분별 블록 최대값의 경험분포함수에서 점근적 분산을 감소시키기 위해 불연속 블록 대신 겹치는 블록을 사용한다.
• 블록 크기 파라미터에 대해 균일한 기능적 중심극한정리를 도출하여 다변량 경험분포함수와 경험코풀라에 적용한다.
• 다양한 블록 크기에서 추정기를 집계하여 분산을 줄이고, 한계 정리의 균일성을 활용한 방법을 제안한다.
• 다양한 블록 크기를 기반으로 한 편향 보정 추정기법을 제안하며, 회귀 기반 또는 단순 집계 접근법을 사용하여 수렴 속도를 향상시킨다.
• 이론을 제2차 수준 파라미터 추정에 적용하여, 특히 코풀라 추정에서의 편향 감소를 향상시킨다.
• 혼합 계수수와 의존성 측도를 사용하여 겹치는 블록 최대값 간의 의존성 구조를 제어함으로써 이론적 타당성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 겹치는 블록은 점근적 편향을 증가시키지 않고 다변량 블록 최대값 추정기의 점근적 분산을 감소시킬 수 있는가?
• RQ2 겹치는 블록을 사용할 경우, 다양한 블록 크기 간에 다변량 경험과정에 대한 기능적 중심극한정리가 여전히 유효하고 균일한가?
• RQ3 다양한 블록 크기에서 추정기를 집계하면 단일 블록 크기 방법에 비해 극값 코풀라 추정기의 수렴 속도가 더 빠를 수 있는가?
• RQ4 겹치는 블록의 사용은 극값 모델에서 제2차 수준 파라미터 추정에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 중간 차원에서 다중 겹치는 블록 크기를 기반으로 한 편향 보정 추정기의 계산 타당성과 효율성은 어떠한가?

주요 결과

• 불연속 블록에 비해 겹치는 블록은 다변량 경험분포함수와 경험코풀라의 점근적 분산을 균일하게 감소시키며, 점근적 편향은 증가하지 않는다.
• 블록 크기 파라미터에 대해 균일한 기능적 중심극한정리를 확립하였으며, 이는 기존의 블록 최대값 추정기에서는 확보되지 않은 결과이다.
• 다양한 블록 크기에서 추정기를 집계하면 시뮬레이션 연구를 통해 분산 감소와 평균제곱오차 향상이 뚜렷하게 나타난다.
• 다양한 블록 크기를 기반으로 한 편향 보정 추정기법은 표준 추정기보다 수렴 속도가 더 빠르며, 특히 제2차 수준 파라미터 추정에서 두드러진다.
• 편향 보정 추정기의 계산 시간은 관리 가능하며, $d=8$ 이하에서 $n=5000$ 이면 여러 번 $ ho$를 계산해도 평가 시간이 5초 이내로 유지된다.
• 제안된 방법은 $t$-코풀라와 외부 거듭제곱 변환 클레이턴 코풀라를 포함한 다양한 코풀라 가족에 적용 가능하며, 이들의 점근적 행동에 대한 이론적 지원이 있다.