[논문 리뷰] Multiple codings for self-similar sets with overlaps

Karma Dajani, Kan Jiang외 3명|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 30.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 33인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 실수선 위의 완전한 오버랩을 갖는 자기유사 집합의 구조를 조사하며, 각 점에 대한 코딩 수(확장 수)에 초점을 맞춘다. 이는 정확히 한 개의 코딩을 갖는 점들의 집합이 닫혀 있음이 유일하게 수렴하는 조건이자, 가чёт 무한한 코딩을 갖는 점이 존재하지 않을 때에만 성립하며, k개의 코딩을 갖는 집합의 하우스도르프 차원에 대한 명시적 공식을 제공하고, k ≥ 2일 때 이러한 집합의 하우스도르프 측도가 항상 무한함을 증명하며, k개 또는 무한히 많은 코딩을 갖는 점들에서 자기유사 측도의 국소 차원을 계산한다.

ABSTRACT

In this paper we consider a general class $\mathcal E$ of self-similar sets with complete overlaps. Given a self-similar iterated function system $Φ=(E, \{f_i\}_{i=1}^m)\in\mathcal E$ on the real line, for each point $x\in E$ we can find a sequence $(i_k)=i_1i_2\ldots\in\{1,\ldots,m\}^\mathbb N$, called a coding of $x$, such that $$ x=\lim_{n o\infty}f_{i_1}\circ f_{i_{2}}\circ\cdots\circ f_{i_n}(0). $$ For $k=1,2,\ldots, \aleph_0$ or $2^{\aleph_0}$ we investigate the subset $\mathcal U_k(Φ)$ which consists of all $x\in E$ having precisely $k$ different codings. Among several equivalent characterizations we show that $\mathcal U_1(Φ)$ is closed if and only if $\mathcal U_{\aleph_0}(Φ)$ is an empty set. Furthermore, we give explicit formulae for the Hausdorff dimension of $\mathcal U_k(Φ)$, and show that the corresponding Hausdorff measure of $\mathcal U_k(Φ)$ is always infinite for any $k\ge 2$. Finally, we explicitly calculate the local dimension of the self-similar measure at each point in $\mathcal U_k(Φ)$ and ${U_{\aleph_0}(Φ)}$.

연구 동기 및 목표

• 완전한 오버랩을 갖는 자기유사 집합의 구조를 분석하고, 특히 다중 코딩을 갖는 점들의 분포를 조사한다.
• 정확히 k개의 코딩을 갖는 집합의 위상적 성질을 특성화하며, 특히 유일한 코딩 집합의 닫힘 성질을 다룬다.
• 정확히 k개의 코딩을 갖는 점들의 집합의 하우스도르프 차원과 측도를 계산한다.
• k개 또는 가чёт 무한한 코딩을 갖는 점들에서 자기유사 측도의 국소 차원을 규명한다.
• 비정수 기반의 확장과 베르누이 복합체에 대한 결과를 오버랩을 갖는 더 넓은 범주의 자기유사 시스템으로 확장한다.

제안 방법

• 저자는 완전한 오버랩을 갖는 자기유사 반복함수계(IFS)의 클래스 E를 정의하며, 오버랩이 인접한 사상들 사이에서 발생함을 가정한다.
• 그들은 구attraction E 내의 점들을 서로 다른 코딩의 수에 따라 분류하며, U_k(Φ)는 정확히 k개의 서로 다른 코딩을 갖는 점들의 집합을 나타낸다.
• 기하학적 및 조합적 기법을 사용하여, 압축 비율과 오버랩 구조에 기반한 U_k(Φ)의 하우스도르프 차원에 대한 명시적 공식을 유도한다.
• 측도의 국소 차원을 분석하기 위해, U_k(Φ) 및 U_ℵ₀(Φ) 내의 점들 주변의 작은 구 내에서 측도의 증가율을 연구하며, 재귀적 부등식과 점근적 분석을 사용한다.
• 증명 과정은 포함된 간격들을 구성하고, 측도 증가를 맵의 수열을 통해 추정함으로써, 확률과 압축 비율의 로그를 포함하는 극한에 도달한다.
• 위상적 및 메트릭적 추론을 통해 U_1(Φ)의 닫힘 성질과 U_ℵ₀(Φ)의 공집합 여부 사이의 이중성 관계를 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전한 오버랩을 갖는 자기유사 집합에서 유일한 코딩을 갖는 점들의 집합이 닫혀 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 이러한 시스템에서 정확히 k개의 코딩을 갖는 점들의 집합의 하우스도르프 차원은 무엇인가?
• RQ3 왜 k ≥ 2인 경우에 정확히 k개의 코딩을 갖는 점들의 집합의 하우스도르프 측도는 항상 무한한가?
• RQ4 k개의 코딩 또는 가чёт 무한한 코딩을 갖는 점들에서 자기유사 측도의 국소 차원은 어떻게 변하는가?
• RQ5 자기유사 측도의 국소 차원은 IFS의 확률과 압축 비율에 대해 명시적으로 계산할 수 있는가?

주요 결과

• U_1(Φ)는 U_ℵ₀(Φ)가 공집합이면 유일하게 닫혀 있으며, 이는 시스템에 대한 위상적 이분법을 수립한다.
• U_k(Φ)의 하우스도르프 차원은 압축 비율과 오버랩 구조에 따라 명시적으로 주어지며, k ≥ 2일 경우 전체 구attraction E의 차원보다 엄밀히 작다.
• 모든 k ≥ 2에 대해 U_k(Φ)의 하우스도르프 측도는 무한하며, 이는 이러한 집합들이 위상적 차원에서는 작지만 메트릭적 관점에서는 크다는 것을 시사한다.
• U_k(Φ) 내의 점들에서 자기유사 측도 μ_p의 국소 차원은 관련된 맵의 확률과 압축 비율을 포함한 최소-최대 공식으로 주어진다.
• U_ℵ₀(Φ) 내의 점들에서는 무한한 코딩 수열에서 유도된 후보 값들의 하한에 의해 국소 차원이 결정되며, 이는 확장 구조의 복잡성을 반영한다.
• 국소 차원은 각 U_k(Φ) 및 U_ℵ₀(Φ) 내에서 일정하며, r → 0일 때 log μ_p(B(x,r)) / log r의 극한으로 계산할 수 있다.