[논문 리뷰] Multiple Dirichlet series and moments of zeta and L-functions

Adrian Diaconu, Dorian Goldfeld외 1명|ArXiv.org|2001. 10. 09.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $ GL(3) $ $ L $-함수의 이차 특성에 의한 변형과 관련된 완전한 다중 디리클레 급수인 $ Z^*(s,s,s,w) $의 유리형 해석적 계속성을 기능 방정식과 새로운 걸러내기 방법을 활용하여 확립한다. 주요 결과는 $ L(1/2, f, \chi_d)^3 $의 평균값에서 오차 항에 대해 $ \mathcal{O}(x^{0.853366 + \epsilon}) $의 하이브리드 bound를 도출하는 것으로, 이는 이전의 bound를 향상시키며 대칭성과 기능 방정식을 통한 해석적 계속성의 확인을 가능하게 한다.

ABSTRACT

This paper develops an analytic theory of Dirichlet series in several complex variables which possess sufficiently many functional equations. In the first two sections it is shown how straightforward conjectures about the meromorphic continuation and polar divisors of certain such series imply, as a consequence, precise asymptotics (previously conjectured via random matrix theory) for moments of zeta functions and quadratic L-series. As an application of the theory, in a third section, we obtain the current best known error term for mean values of cubes of central values of Dirichlet L-series. The methods utilized to derive this result are the convexity principle for functions of several complex variables combined with a knowledge of groups of functional equations for certain multiple Dirichlet series.

연구 동기 및 목표

• 삼중 곱의 $ L $-함수에 이차 특성이 붙은 데에 관련된 완전한 다중 디리클레 급수 $ Z^*(s,s,s,w) $의 유리형 해석적 계속성을 확립하는 것.
• G–H에서 제시된 방법과 유사한 걸러내기 방법을 개발하여, 개선되지 않은 급수를 완전한 급수로부터 재구성하는 것.
• $ L(1/2, f, \chi_d)^3 $의 비영성 결과와 $ GL(3) $ 촉성 형식의 대칭 제곱 $ L $-함수의 해석적 계속성을 도출하는 것.
• $ |L(1/2, f, \chi_d)|^3 $의 평균값에서 오차 항을 복소해석학과 기능 방정식을 사용하여 분석하는 것.
• $ m=3 $인 경우의 기능 방정식 군이 유한군을 이룬다는 것을 보여주어 볼록 hull 추론을 통해 해석적 계속성을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 모든 변수에서 해석적 계속성과 기능 방정식을 보장하기 위해 수정 요소를 포함한 완전한 다중 디리클레 급수 $ Z^*(s_1,s_2,s_3,w) $를 사용한다.
• 기능 방정식과 급수의 대칭성을 적용하여, 그들의 볼록 hull 이 $ \mathbb{C}^4 $ 가 되는 겹치는 영역을 생성하고, 다변수 복소해석학의 정리를 통해 해석적 계속성을 가능하게 한다.
• 완전한 급수와 개선되지 않은 급수 $ Z(s,s,s,w) $ 사이의 관계를 설정하기 위해 걸러내기 방법을 활용하여 해석적 성질의 이전을 가능하게 한다.
• 매개변수 $ \sigma, T, \gamma, \alpha, \beta, \theta_0 $ 를 신중히 선택하여, Lemma 4.20과 Proposition 4.18을 사용해 적분과 오차 항을 $ \mathcal{O} $-기준으로 추정한다.
• 적분 $ I_2, I_3, I_4 $ 에서 온 오차 항, 극 기여, 절단 오차를 최적화된 매개변수로 균형을 맞춰 총 오차를 최소화한다.
• $ m=3 $인 경우의 유일성 원리에 따라 수정 요소가 기능 방정식에 의해 완전히 결정되므로, 구성의 일관성과 완전성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 GL(3) 자동형 양식에 대해 완전한 다중 디리클레 급수 $ Z^*(s,s,s,w) $ 는 $ \mathbb{C}^4 $ 로 해석적 계속성이 가능한가?
• RQ2 평균값 $ |L(1/2, f, \chi_d)|^3 $ 에 대한 최적의 오차 bound는 무엇이며, 기능 방정식과 걸러내기 방법을 통해 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 완전한 급수의 수정 요소는 다중 디리클레 급수의 해석적 성질과 기능 방정식에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 기능 방정식 군은 해석적 계속성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가? 그리고 왜 $ m \geq 4 $ 에서는 유한군이 되지 않는가?
• RQ5 개선되지 않은 급수 $ Z(s,s,s,w) $ 는 걸러내기 방법을 통해 $ Z^*(s,s,s,w) $ 로부터 재구성될 수 있는가? 그리고 이는 평균값 정리에 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• $ Z^*(s,s,s,w) $ 의 완전한 다중 디리클레 급수는 $ m=3 $ 인 경우의 기능 방정식 군이 유한하므로 $ \mathbb{C}^4 $ 로 유리형 해석적 계속성을 가짐을 보였다.
• 평균값 $ |L(1/2, f, \chi_d)|^3 $ 의 총 오차는 $ \mathcal{O}(x^{0.853366 + \epsilon}) $ 로 유계이며, 여기서 $ 0.853366 \approx \frac{1}{36}(47 - \sqrt{265}) $ 이다.
• 2 또는 수준을 나누지 않는 소수에 대한 수정 요소는 기능 방정식에 의해 완전히 결정되며, 이는 $ m=3 $ 에서의 유일성 원리의 확인을 뒷받침한다.
• $ GL(3) $ 촉성 형식의 대칭 제곱 $ L $-함수의 해석적 계속성은 $ Z^*(s,s,s,w) $ 의 $ w=1 $ 에서의 잔여소를 통해 재확인되었다.
• 걸러내기 방법을 통해 개선되지 않은 급수를 완전한 급수로부터 성공적으로 재구성하였으며, 이는 평균값 결과 유도에 기여하였다.
• 매개변수 $ \gamma, \alpha, \beta, \theta_0 $ 의 최적화를 통해 오차 항을 균형을 맞췄으며, 조건 $ \theta_0 > \frac{1}{18}(29 - \sqrt{265}) $ 가 오차 bound 를 최소화하는 데 기여한다.