[논문 리뷰] Multiple Dirichlet Series and Shifted Convolutions

Jeffrey Hoffstein, Thomas A. Hulse외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 10. 21.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 25인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 복소수 변수 하나와 두 개인 경우에 대해 메로모르픽 연속성을 갖는 이동 다중 딜리클레 급수를 도입하고 연구한다. 이들은 날카운 bounds를 도출하여 모듈라 형식의 L-함수에 대한 초구면 추정치를 얻는 데 응용되며, 이는 이전의 랭킨-셀버그 합성에 대한 결과를 확장하고 임의의 중심 특성을 가진 모듈라 형식의 중심 L-값을 유계화하기 위한 새로운 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

We define, and obtain the meromorphic continuation of, shifted Rankin-Selberg convolutions in one and two variables. As sample applications, this continuation is used to obtain estimates for single and double shifted sums and a Burgess-type bound for $L$-series associated to modular forms of arbitrary central character. Further applications are furnished by subsequent works by the authors and their colleagues.

연구 동기 및 목표

• 이동 다중 딜리클레 급수 이론을 개발하여 다변수에서 메로모르픽 연속성을 확보한다.
• 고전적인 랭킨-셀버그 합성을 하나와 두 개의 변수에서 이동된 합성으로 확장한다.
• 해석적 연속성을 응용하여 이동된 합의 강력한 추정치와 L-함수에 대한 초구면 추정치를 도출한다.
• 임의의 중심 특성을 가진 모듈라 형식의 중심 L-값을 유계화하기 위한 새로운 방법을 제공한다.
• 이동 다중 딜리클레 급수의 유용성을 '개념 증명' 응용을 통해 보여준다.

제안 방법

• 모듈라 형식 $ f $ 와 $ g $ 에 대해 $ D(s;h) = \sum_{m \geq 1} \frac{a(m+h)\overline{b}(m)}{m^{s+k-1}} $ 형태의 이동 딜리클레 급수를 정의함으로써, 랭킨-셀버그 합성의 일반화를 시도한다.
• 스펙트럼 분해와 자동형 표현 이론을 사용하여 $ D(s;h) $ 와 그 두 변수 버전의 메로모르픽 연속성을 확립한다.
• 이동된 합성의 스펙트럼 전개를 이용하여 수직 스트립에서 다항식 추정치를 도출하고, 두 번째 모멘트를 추정한다.
• 이론을 적용하여 $ \Gamma_0(N) $ 에서의 모듈라 함수 삼중곱을 유계화함으로써, [4]의 결과를 $ PGL_2(\mathbb{A}) $ 의 고정된 커푸실 표현으로 확장한다.
• 스케일링 연산자를 통해 수준-$ \ell $ 동치 부분군 위에서 자동형 함수를 구성함으로써, $ L^2 $ 와 최대노름 유계화를 유지한다.
• 자동형 올림프의 $ L^2 $-노름과 최대노름에 대한 균일한 유계화를 사용하여 스펙트럼 합을 제어하고 핵심적인 초구면 추정치를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 중심 특성을 가진 모듈라 형식에 대해, 하나와 두 개의 변수에서 이동된 랭킨-셀버그 합성의 메로모르픽 연속성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 형태 $ \sum_{m < x} a(m)\overline{b}(m+h) (m(m+h))^{(1-k)/2} $ 의 이동된 합에 대한 날카운 유계화는 무엇이며, 초구면과의 관계는 어떠한가?
• RQ3 다중 딜리클레 급수 이론은 다중 매개변수의 이동을 포함하도록 확장될 수 있으며, 그 분석적 성질은 무엇인가?
• RQ4 이동된 합성의 스펙트럼 전개가 $ Q $-측면에서 L-함수에 대한 초구면 추정치를 어떻게 도출하는가?
• RQ5 레벨 상승 연산자 하에서 자동형 올림프의 역할은 $ L^2 $-노름과 스펙트럼 합을 제어하는 데 어떤 기여를 하는가?

주요 결과

• 이동 딜리클레 급수 $ D(s;h) $ 는 $ \mathbb{C} $ 전역에서 메로모르픽 연속성을 갖는다. 이는 고전적인 랭킨-셀버그 이론을 이동된 합성으로 확장한다.
• 모듈라 함수의 삼중곱 평균에 대해 날카운 유계화가 확보되며, 이는 [4]의 결과를 $ PGL_2(\mathbb{A}) $ 의 고정된 커푸실 표현으로 일반화한다.
• 이 방법은 $ L(\frac{1}{2}, f, \chi) $ 에 대한 초구면 추정치를 도출하며, 지수를 $ \frac{1}{2} + \epsilon $ 에서 $ \frac{1}{2} - \delta $ 로 줄여 convexity 를 깨뜨린다. 여기서 $ \delta > 0 $ 이다.
• 자동형 올림프 $ {}^\ell\phi_{v_T} $ 의 $ L^2 $-노름은 수준 $ \ell $ 에 따라 달라지지 않는 $ \beta T^2 $ 로 균일하게 유계화되어 스펙트럼 합 제어를 가능하게 한다.
• 유계화 $ \sum_{\frac{1}{2}T \leq |\lambda_i| \leq T} |\langle {}^\ell\phi^k \overline{{}^\ell\phi'^k}, \phi_i \rangle_{Y_{\ell N_0}}|^2 \cdot \ell^{2k} |\lambda_i|^{2-2k} e^{\frac{1}{2}\pi|\lambda_i|} \leq A T^2 $ 는 $ A $ 가 $ N_0 $ 과 $ k $ 에만 의존함을 증명하였다.
• 이 프레임워크는 다중 이동 딜리클레 급수를 통한 초구면 추정에 대한 새로운 체계적인 접근법을 제공하며, 고차원 랭크의 L-함수와 임의의 전체 실수 체 위에서의 자동형 형식으로의 응용을 확장한다.