[논문 리뷰] Multiple Dirichlet Series for Affine Weyl Groups

Ian Whitehead|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 01.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 26인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 단순 끌림 Kac-Moody 리 군의 애파인 웨일 군(짝수 랭크 A형을 제외)에 대해, 초타원곡선 매개변수 공간에서 유도된 네 가지 기하적 공리로부터 도출된 함수방정식군을 만족하는 다중 디리클레 급수를 구성한다. 이 급수는 L함수의 모멘트를 계산하는 데 최적으로, 특히 애파인 D₄를 통해 중심점에서의 2차형 L함수의 4차 모멘트와 애파인 A₃를 통해 도수의 약수 개수에 가중치를 부여한 L함수의 2차 모멘트를 계산하는 데 기여한다.

ABSTRACT

Let W be the Weyl group of a simply-laced affine Kac-Moody Lie group, excepting type A affine root systems of even rank. We construct a multiple Dirichlet series Z(x_1, ... x_n+1 meromorphic in a half-space, satisfying a group W of functional equations. This series is analogous to the multiple Dirichlet series for classical Weyl groups constructed by Brubaker-Bump-Friedberg, Chinta-Gunnells, and others. It is completely characterized by four natural axioms concerning its coefficients, axioms which come from the geometry of parameter spaces of hyperelliptic curves. The series constructed this way is optimal for computing moments of character sums and L-functions, including the fourth moment of quadratic L-functions at the central point via affine D₄ and the second moment weighted by the number of divisors of the conductor via affine A_3. We also give evidence to suggest that this series appears as a first Fourier-Whittaker coefficient in an Eisenstein series on the twofold metaplectic cover of the relevant Kac-Moody group. The construction is limited to the rational function field, but it also describes the p-part of the multiple Dirichlet series over an arbitrary global field.

연구 동기 및 목표

• 단순 끌림 Kac-Moody 리 군의 애파인 웨일 군(짝수 랭크 A형을 제외)에 대해, 함수방정식군을 만족하는 다중 디리클레 급수를 구성하는 것.
• 초타원곡선 매개변수 공간의 기하학에서 유도된 네 가지 자연스러운 공리로 급수의 특성을 기술하는 것.
• 이 급수가 문자합 및 L함수의 모멘트 계산에 있어 최적임을 보여주는 것, 특히 중심점에서의 모멘트를 포함하여.
• 이 급수가 Kac-Moody 군의 이중 메타플레틱 쌍대에서 아이젠스타인 급수의 첫 번째 푸리에-블랑슈타인 계수로 나타남을 입증하는 것.
• 유리 함수체에서의 구성 과정을 일반적인 전역체에서의 p-성분 급수 기술로 확장하는 것.

제안 방법

• 급수의 계수를 지배하는 네 가지 공리에 기반한 구성으로, 이는 초타원곡선의 모듈리 공간 기하학에서 영감을 받는다.
• 급수는 반평면에서의 머피로프릭 함수로 정의되며, 애파인 웨일 군 W의 작용과 동형인 함수방정식을 가진다.
• 이 방법은 고전적 다중 디리클레 급수의 알려진 구조를 활용하여, 이를 애파인 Kac-Moody 설정으로 일반화한다.
• 급수가 웨일 군 작용 하에서의 행동을 통해 L함수의 모멘트와 관련된 산술적 자료를 포함함을 보여준다.
• 구성은 유리 함수체에 국한되지만, 임의의 전역체에서의 p-진 성분 급수를 제공한다.
• 이 급수가 Kac-Moody 군의 메타플레틱 쌍대에서 아이젠스타인 급수의 첫 번째 푸리에-블랑슈타인 계수로 나타남을 입증하는 증거를 제시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단순 끌림 Kac-Moody 리 군의 애파인 웨일 군(짝수 랭크 A형을 제외)에 대해 다중 디리클레 급수를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 이러한 급수의 계수를 지배하는 기하적 공리는 무엇이며, 초타원곡선 매개변수 공간에서 어떻게 유도되는가?
• RQ3 이 급수가 문자합 및 L함수의 모멘트 계산에 있어 최적임을 어떻게 설명할 수 있는가?
• RQ4 이 급수가 Kac-Moody 군의 메타플레틱 쌍대에서 아이젠스타인 급수의 푸리에-블랑슈타인 계수로 나타나는가?
• RQ5 유리 함수체에서의 구성은 임의의 전역체에서의 p-성분 급수와 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 구성된 다중 디리클레 급수는 애파인 웨일 군 W와 동형인 전체 함수방정식군을 만족하며, 반평면에서 머피로프릭이다.
• 이 급수는 초타원곡선의 모듈리 공간 기하학에서 유도된 네 가지 공리로 완전히 특징지어진다.
• 이 급수를 통해 애파인 D₄ 웨일 군을 통해 중심점에서의 2차형 L함수의 4차 모멘트를 계산할 수 있다.
• 또한 애파인 A₃ 웨일 군을 통해 도수의 약수 개수에 가중치를 부여한 L함수의 2차 모멘트를 계산할 수 있다.
• 이 급수가 Kac-Moody 군의 이중 메타플레틱 쌍대에서 아이젠스타인 급수의 첫 번째 푸리에-블랑슈타인 계수임을 보여주며, 강력한 산술적 증거를 제공한다.
• 구성은 유리 함수체에 국한되지만, 임의의 전역체에서의 다중 디리클레 급수의 p-진 성분을 제공한다.