[논문 리뷰] Multiple ergodic averages along functions from a Hardy field: convergence, recurrence and combinatorial applications

Vitaly Bergelson, Joel Moreira외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 05.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 26인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 하디 필드에서 온 함수를 따라 다중 에르고딕 평균의 수렴성과 재귀성을 확립하며, 이러한 평균이 $L^2$에서 수렴하고 상한 밀도를 가진 집합에서 새로운 조합적 구성요소를 유도함을 증명한다. 이는 프란츠키나키스의 추측을 확인하고, 다항함수와 하디 필드에서 온 비다항함수(예: $t^{3/2}$ 또는 $e^{ extstyleackslash extbackslash sqrt extbackslash extbackslash{t}}$)의 혼합을 포함하는 슈메레디 유형 정리의 확장이며, 비다항성 조건 하에서 해당 귀환 시간 집합이 두꺼움을 보임을 보여준다.

ABSTRACT

We obtain new results pertaining to convergence and recurrence of multiple ergodic averages along functions from a Hardy field. Among other things, we confirm some of the conjectures posed by Frantzikinakis in [Fra10; Fra16] and obtain combinatorial applications which contain, as rather special cases, several previously known (polynomial and non-polynomial) extensions of Szemeredi's theorem on arithmetic progressions [BL96; BLL08; FW09; Fra10; BMR17]. One of the novel features of our results, which is not present in previous work, is that they allow for a mixture of polynomials and non-polynomial functions. As an illustration, assume $f_i(t)=a_{i,1}t^{c_{i,1}}+\cdots+a_{i,d}t^{c_{i,d}}$ for $c_{i,j}>0$ and $a_{i,j}\in\mathbb{R}$. Then $\bullet$ for any measure preserving system $(X,\mathcal{B},μ,T)$ and $h_1,\dots,h_k\in L^\infty(X)$, the limit $$\lim_{N o\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N T^{[f_1(n)]}h_1\cdots T^{[f_k(n)]}h_k$$ exists in $L^2$; $\bullet$ for any $E\subset \mathbb{N}$ with $\overline{\mathrm{d}}(E)>0$ there are $a,n\in\mathbb{N}$ such that $\{a,\, a+[f_1(n)],\ldots,a+[f_k(n)]\}\subset E$. We also show that if $f_1,\dots,f_k$ belong to a Hardy field, have polynomial growth, and are such that no linear combination of them is a polynomial, then for any measure preserving system $(X,{\mathcal B},μ,T)$ and any $A\in{\mathcal B}$, $$\limsup_{N o\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Nμ\Big(A\cap T^{-[ f_1(n) ]}A\cap\ldots\cap T^{-[f_k(n)]}A\Big)\,\geq\,μ(A)^{k+1}.$$

연구 동기 및 목표

• 하디 필드에서 온 함수를 따라 다중 에르고딕 평균의 수렴성을 일반화하여 다항 및 비다항 사례를 포함하도록 확립하기.
• 프란츠키나키스가 제기한 비다항 수열을 따라 다중 에르고딕 평균과 재귀성에 관한 열린 추측을 해결하기.
• 다항함수와 비다항함수의 혼합을 포함하는 구성요소를 정의하는 데 사용되는 슈메레디 정리의 조합적 확장 증명하기.
• 귀환 시간 집합이 두껍거나 싱게티크가 되는 조건을 규명하여, 성장률과 미분 가능성에 기반한 이분법적 성격을 드러내기.

제안 방법

• 특성 인자와 닐시스템을 사용하여 에르고딕 평균을 닐다양체 위의 닐역전으로 감소시키기.
• 하디 필드에 속하고 다항 성장률을 가진 함수 $f_i$에 대해 수열 $[f_i(n)]$의 균일 분포 이론 적용하기.
• 시스템의 구조적 분해를 통해 연결되고 단순연결된 비가환 리 군의 경우로 감소시키기.
• 비균일 분포 수열을 다루기 위해 가중치 함수 $W$와 호환성 조건(Propert P 또는 WP) 사용하기.
• 한계 평균에서 바닥 함수를 제거하기 위해 근사 기법과 오차 제어를 활용하기.
• 성장률이 느리고 비다항적 행동을 보이는 함수를 따라 다중 에르고딕 평균에 관한 Ric20의 결과를 활용하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하디 필드에서 온 함수를 따라 다중 에르고딕 평균이 $L^2$에서 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 귀환 시간 집합 $\{n \in \mathbb{N} : E \cap (E - \lfloor f(n) \rfloor) \neq \emptyset\}$이 두껍고, 이는 $f$의 성장률과 미분 가능성에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ3 다항함수와 하디 필드에서 온 비다항함수의 혼합을 포함하는 수렴성과 재귀성 결과를 확장할 수 있는가?
• RQ4 다중 재귀에서 하한 $\mu(A)^{k+1}$을 확보하기 위해 $f_1, \dots, f_k$의 선형 조합이 다항함수가 아니라는 조건이 필수적인가?
• RQ5 함수와 가중치 사이의 호환성 조건을 Property (P)에서 Property (WP)로 약화시킬 수 있는가?
• RQ6 함수들이 도함수와 성장률을 포함한 일반화된 비다항성 조건을 만족할 경우, 귀환 시간 집합의 교집합 $R_{f_1} \cap \cdots \cap R_{f_k}$는 여전히 두껍게 유지되는가?

주요 결과

• 모든 측도를 보존하는 시스템과 $h_1, \dots, h_k \in L^\infty(X)$에 대해, $f_i(t) = a_{i,1}t^{c_{i,1}} + \cdots + a_{i,d}t^{c_{i,d}}$ 이고 $c_{i,j} > 0$, $a_{i,j} \in \mathbb{R}$ 이면, 다중 에르고딕 평균 $\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N T^{[f_1(n)]}h_1 \cdots T^{[f_k(n)]}h_k$ 는 $L^2$에서 수렴한다.
• 만약 $f_1, \dots, f_k$ 가 하디 필드에 속하고 다항 성장률을 가지며, 어떤 선형 조합도 다항함수가 아니라면, $\limsup_{N \to \infty} \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N \mu(A \cap T^{-[f_1(n)]}A \cap \cdots \cap T^{-[f_k(n)]}A) \geq \mu(A)^{k+1}$ 이다.
• 모든 집합 $E \subset \mathbb{N}$ 에 대해 $\overline{\mathrm{d}}(E) > 0$ 이면, $a, n \in \mathbb{N}$ 가 존재하여 $\{a, a + [f_1(n)], \dots, a + [f_k(n)]\} \subset E$ 가 성립한다. 여기서 $f_i$ 는 위와 같다.
• 만약 $f_i(t) \prec t^\ell$ 이고 $f_i(t) \succ t^{\ell-1}$ 이며 어떤 $\ell \in \mathbb{N}$ 에 대해 성립하면, 귀환 집합 $R_f = \{n : E \cap (E - \lfloor f(n) \rfloor) \neq \emptyset\}$ 는 두껍다.
• 함수 $f_i$ 가 도함수와 성장률을 포함한 비다항성 조건을 만족하면, 교집합 $R_{f_1} \cap \cdots \cap R_{f_k}$ 는 두껍다.
• 모든 $c_{i,j}$ 가 정수가 아니라면, 다중 에르고딕 평균의 극한은 적분의 곱 $\int h_1 \, d\mu \cdots \int h_k \, d\mu$ 와 같으며, 이는 위너-윈터 유형의 균일 분포를 나타낸다.