[논문 리뷰] Multiple expansions of real numbers with digits set $\{0,1,q\}$

Karma Dajani, Kan Jiang외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 25.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 16인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 비정수 기수 q에서 자릿값 집합 {0, 1, q}를 사용한 실수의 다중 전개를 조사한다. k ≥ 2일 때 정확히 k개의 서로 다른 q-전개를 갖는 기수 q의 집합은 (q_c, ∞)임을 규명한다. 여기서 q_c ≈ 2.32472는 x³ - 3x² + 2x - 1 = 0의 실근이다. 주요 결과는 임의의 k ≥ 2에 대해 정확히 k개의 전개를 갖는 수의 집합의 하우스도르프 차원이 유일전개 집합과 같으며, 연속적으로 많은 전개를 갖는 수의 집합은 E_q에서 전체 하우스도르프 차원을 가진다.

ABSTRACT

For $q>1$ we consider expansions in base $q$ over the alphabet $\{0,1,q\}$. Let $\mathcal{U}_q$ be the set of $x$ which have a unique $q$-expansions. For $k=2, 3,\cdots,\aleph_0$ let $\mathcal{B}_k$ be the set of bases $q$ for which there exists $x$ having $k$ different $q$-expansions, and for $q\in \mathcal{B}_k$ let $\mathcal{U}_q^{(k)}$ be the set of all such $x$'s which have $k$ different $q$-expansions. In this paper we show that \[ \mathcal{B}_{\aleph_0}=[2,\infty),\quad \mathcal{B}_k=(q_c,\infty)\quad extrm{for any}\quad k\ge 2, \] where $q_c\approx 2.32472$ is the appropriate root of $x^3-3x^2+2x-1=0$. Moreover, we show that for any positive integer $k\ge 2$ and any $q\in\mathcal{B}_{k}$ the Hausdorff dimensions of $\mathcal{U}_q^{(k)}$ and $\mathcal{U}_q$ are the same, i.e., \[ \dim_H\mathcal{U}_q^{(k)}=\dim_H\mathcal{U}_q\quad extrm{for any}\quad k\ge 2. \] Finally, we conclude that the set of $x$ having a continuum of $q$-expansions has full Hausdorff dimension.

연구 동기 및 목표

• 기수 q > 1에 대해 자릿수 {0, 1, q}를 사용할 때 정확히 k개의 서로 다른 q-전개를 갖는 실수의 존재를 보장하는 기수 q의 집합을 특성화하는 것.
• 정확히 k개의 q-전개를 갖는 수의 집합의 하우스도르프 차원을 규명하고, 특히 k=1인 유일전개 집합(U_q)과 비교하는 것.
• 연속적으로 많은 전개를 갖는 수의 집합의 구조와 크기를 조사하는 것.
• 특히 임계 값 q_c 근처에서 전개의 다중성 변화를 기수 q에 대한 함수로 이해하는 것.

제안 방법

• 정확히 k개의 서로 다른 q-전개를 갖는 어떤 x ∈ E_q가 존재하는 기수 q > 1의 집합을 B_k로 정의한다.
• d ∈ {0, 1, q}에 대해 φ_d(x) = (x + d)/q로 정의되는 반복함수계(IFS)를 사용하여 E_q를 겹침이 있는 자기유사 집합으로 모델링한다.
• 기호 역학과 유한 유형의 하위시프트를 통해 q-전개의 구조를 분석하여 유일전개 및 다중전개에 해당하는 수열의 집합을 특성화한다.
• 전개 다중성의 제어 영역을 나누는 임계 기수 q_c를 x³ - 3x² + 2x - 1 = 0의 실근으로 설정한다.
• 오픈 집합 조건과 그래프 유도 구조를 포함한 프랙탈 기하학 기법을 적용하여 하우스도르프 차원을 계산한다.
• 보조정리와 구조적 결과를 활용하여 k ≥ 2일 때 U_q^(k)와 U_q의 하우스도르프 차원을 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 k ≥ 2 또는 k = ℵ₀ 또는 2^ℵ₀일 때, 자릿수 {0, 1, q}를 사용해 정확히 k개의 서로 다른 q-전개를 갖는 실수가 존재하는 기수 q > 1는 무엇인가?
• RQ2 정확히 k개의 서로 다른 q-전개를 갖는 수의 집합의 하우스도르프 차원은 얼마이며, 이는 유일전개 집합 U_q의 차원과 어떻게 비교되는가?
• RQ3 연속적으로 많은 전개를 갖는 수의 집합은 E_q에서 전체 하우스도르프 차원을 갖는가?
• RQ4 구간 (q_c, q*)에서 U_q의 하우스도르프 차원에 대한 통일된 공식이 존재하는가?
• RQ5 함수 D(q) = dim_H(U_q)는 (q_c, q*)에서 데빌의 계단(Devil’s staircase) 구조를 보이는가?

주요 결과

• 연속적으로 많은 전개를 갖는 수를 허용하는 기수 집합 B_ℵ₀는 [2, ∞)이며, 모든 k ≥ 2에 대해 B_k = (q_c, ∞)이다. 여기서 q_c ≈ 2.32472는 x³ - 3x² + 2x - 1 = 0의 실근이다.
• 임의의 정수 k ≥ 2와 임의의 q ∈ B_k에 대해 정확히 k개의 q-전개를 갖는 수의 집합 U_q^(k)의 하우스도르프 차원은 유일전개 집합 U_q의 하우스도르프 차원과 같다.
• U_q의 하우스도르프 차원이 양수임은 q > q_c일 때이고, 그 밖의 경우 0이다.
• q = 3일 때, 모든 k ≥ 2에 대해 dim_H(U_q^(k)) = log(q_c)/log(3) ≈ 0.767877이며, dim_H(U_q^(2^ℵ₀)) = log(q*)/log(3) ≈ 0.876036이다. 여기서 q* = (3 + √5)/2이다.
• q = 1 + √2 ∈ (q_c, q*)일 때, dim_H(U_q) ≈ 0.691404이며, 모든 k ≥ 2에 대해 dim_H(U_q^(k))는 이 값과 같다.
• 자연수 무한 개의 전개를 갖는 수의 집합 U_q^(ℵ₀)는 q ∈ B_2 extbackslash (q_c, q*)일 때 가чёт수이며, 일부 q ∈ (q_c, q*)에 대해 양의 하우스도르프 차원을 갖는다. 다만 이러한 q의 존재성은 아직 미해결이다.