[논문 리뷰] Multiple factor analysis of distributional data

Rosanna Verde, Antonio Irpino|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 19.

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한 줄 요약

이 논문은 분포값 변수에서 유도된 분위수 변수를 사용하여 분포 데이터를 위한 다중 요인 분석(MFA) 프레임워크를 제안한다. 제곱 $L_2$ 워샤프트 거리(또는 거리)를 메트릭으로 활용함으로써, 위치, 척도, 형태와 관련된 변동성 성분으로 변동성을 분해하여, 요인 평면 상에서 분포의 해석 가능한 차원 축소 및 시각화를 가능하게 한다.

ABSTRACT

In the framework of Symbolic Data Analysis (SDA), distribution-variables are a particular case of multi-valued variables: each unit is represented by a set of distributions (e.g. histograms, density functions or quantile functions), one for each variable. Factor analysis (FA) methods are primary exploratory tools for dimension reduction and visualization. In the present work, we use Multiple Factor Analysis (MFA) approach for the analysis of data described by distributional variables. Each distributional variable induces a set new numeric variable related to the quantiles of each distribution. We call these new variables as extit{quantile variables} and the set of quantile variables related to a distributional one is a block in the MFA approach. Thus, MFA is performed on juxtaposed tables of quantile variables. \\ We show that the criterion decomposed in the analysis is an approximation of the variability based on a suitable metrics between distributions: the squared $L_2$ Wasserstein distance. \\ Applications on simulated and real distributional data corroborate the method. The interpretation of the results on the factorial planes is performed by new interpretative tools that are related to the several characteristics of the distributions (location, scale and shape).

연구 동기 및 목표

• 분포 데이터(예: 히스토GRAM, 밀도, 분위수 함수 등)로 표현되는 각 개별 개체를 다룰 수 있도록 다중 요인 분석(MFA)을 확장하는 것.
• 기존의 주성분 분석(PCA) 방법들이 척도 및 형태의 변동성을 종종 忽시하는 바, 원칙적인 메트릭 기반 접근법의 부재를 해결하는 것.
• 기하학적 및 통계적 일관성을 보장하기 위해 분포 간 $L_2$ 워샤프트 거리를 명시적으로 사용하여 변동성을 모델링하는 방법을 개발하는 것.
• 요인 평면의 구조와 분포 특성(예: 위치, 척도, 형태)을 연결하는 해석 가능한 시각화 도구를 제공하는 것.
• 차원 축소된 공간에서 분위수 변수 간의 관계를 이해하는 데 효과적인 새로운 해석 도구(예: 스페인-팬 플롯)를 도입하는 것.

제안 방법

• 각 분포 변수를 분위수 변수 집합으로 변환하여 MFA의 블록을 구성하며, 각 분위수는 수치형 변수로 대응한다.
• 각 분포 변수에 해당하는 블록이 하나씩 있는 분위수 변수의 결합 표를 대상으로 MFA를 적용한다.
• 변동성 정의를 위해 제곱 $L_2$ 워샤프트 거리를 기반 메트릭으로 사용하여, 분위수 변수의 공분산 행렬의 추적값이 원래 분포 변수의 $L_2$ 워샤프트 기반 분산을 근사하게 한다.
• 요인 축의 해석을 통해 총 관성의 성분을 위치(평균), 척도(산포), 형태(첨도, 왜도)와 관련지어 분해한다.
• 요인 평면에 투영된 분위수 변수의 구조를 보여주는 스페인-팬 플롯을 도입하여, 팬의 형태가 분포 특성과 연결되도록 한다.
• 분포 데이터의 주요 변동 원인을 반영하는 주성분을 추출하여 차원 축소를 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확률 분포로 표현된 분포 데이터를 다룰 수 있도록 다중 요인 분석(MFA)을 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ2 분포 변수의 분산과 $L_2$ 워샤프트 거리 기반에서의 분위수 변수의 공분산 구조 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 MFA의 첫 번째 요인 축이 분포의 위치, 척도, 형태에 기인한 변동성을 어느 정도 반영하는가?
• RQ4 MFA의 결과를 평균, 산포, 첨도 등의 분포 특성 측면에서 어떻게 해석할 수 있는가?
• RQ5 스페인-팬 플롯과 같은 새로운 시각화 도구는 요인 평면 상에서 분포 데이터의 구조를 효과적으로 전달할 수 있는가?

주요 결과

• 분위수 변수의 공분산 행렬의 추적값은 원래 분포 변수의 $L_2$ 워샤프트 기반 분산을 근사함으로써, 방법의 메트릭 일관성을 검증한다.
• 첫 번째 요인 축은 주로 위치(평균)의 차이에 의해 주도되며, 척도 및 형태 성분의 영향은 미미하다.
• 척도 및 형태의 변동은 높은 차원에서 짧은 고유값을 통해 나타나는 바와 같이 총 관성에 미치는 기여가 미미하다.
• 스페인-팬 플롯은 분위수 변수의 구조를 효과적으로 시각화하며, 팬의 형태가 분포의 첨도 및 산포를 반영한다.
• BLOOD 데이터셋에서 헤모글로빈과 헤마토크리트는 청소년기에서 높은 평균을 보이며 강한 양의 상관관계를 보이며 생물학적 기대와 일치한다.
• M-20 및 F-20와 같은 분포의 첨도 값은 요인 평면 상에서 상단에 위치한 분포가 하단에 위치한 분포보다 변동성이 작고, 피크가 덜 높다는 점을 확인하여 형태 기반 분리가 성립함을 확인한다.