[논문 리뷰] Multiple Lattice Packings and Coverings of the Plane with Triangles

Kirati Sriamorn|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 16.

Analytic and geometric function theory인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 평면 상의 임의의 삼각형 T에 대해 j중 격자 packing 및 covering 밀도의 정확한 공식을 확립한다: δᴸʲ(T) = 2j²/(2j+1) 및 ϑᴸʲ(T) = (2j+1)/2. 이러한 밀도는 특정 스케일링된 계단 다각형에서 유도된 격자로 삼각형을 이동할 때 달성되며, 2j+1의 소인수를 포함하는 곱셈적 산술 함수를 사용해 이러한 최적의 격자 수를 세는 공식을 유도한다.

ABSTRACT

Given a convex disk $K$ and a positive integer $j$, let $δ_L^j(K)$ and $\vartheta_L^j(K)$ denote the $j$-fold lattice packing density and the $j$-fold lattice covering density of $K$, respectively. I will prove that for every triangle $T$ we have that $δ_L^j(T)=\frac{2j^2}{2j+1}$ and $\vartheta_L^j(T)=\frac{2j+1}{2}$. Furthermore, I also obtain that the numbers of lattices which attain these densities both are $(2j+1)\prod_{p|2j+1}(1-\frac{2}{p})$, where the product is over the distinct prime numbers dividing $2j+1$.

연구 동기 및 목표

• 모든 삼각형 T에 대해 R² 내의 정확한 j중 격자 packing 및 covering 밀도를 결정하기.
• 이 최적 밀도를 달성하는 격자를 특성화하기.
• 최적 packing 및 covering 밀도를 유도하는 서로 다른 격자의 수를 위한 공식 유도하기.
• 이 밀도들이 삼각형의 모양에 관계없이 오직 j에 의해서만 결정됨을 입증하기.
• 반개방 r-계단 다각형의 구조를 통해 조합 기하학과 문제를 연결하기.

제안 방법

• 격자 Λ의 결정잔수 d(Λ)를 사용하여, 볼록체 K에 대해 j중 격자 packing 및 covering 밀도 δᴸʲ(K) 및 ϑᴸʲ(K)를 정의한다. 이는 |K|/d(Λ)의 비율로 표현된다.
• 최적 packing 및 covering의 기본 도메인을 모델링하기 위해 r-계단 다각형 S(j) 및 그 스케일링된 형태인 S(j)/(2j+1)과 S(j)/(2j)를 도입한다.
• 최적 packing 밀도 δᴸʲ(T)가 성립하는 것은 Sⱼ(Λ) = S(j)/(2j)일 때이고, 최적 covering 밀도 ϑᴸʲ(T)가 성립하는 것은 Sⱼ(Λ) = S(j)/(2j+1)일 때임을 증명한다.
• Euler totient 함수 유사 함수 φᵏ(n)의 성질을 활용하여 최적 밀도를 달성하는 서로 다른 격자의 수를 세는 데 사용한다.
• δᴸʲ(T) 및 ϑᴸʲ(T)가 비특이 선형변환에 대해 불변임을 이용하여 문제를 꼭짓점이 (0,0), (1,0), (0,1)인 표준 삼각형으로 단순화한다.
• 기본 도메인의 구조와 정확한 j중 격자 타일링 간의 등가성을 확립하기 위해 정리 3.1을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 평면 상의 임의의 삼각형 T에 대해 j중 격자 packing 밀도 δᴸʲ(T)의 정확한 값은 무엇인가요?
• RQ2 평면 상의 임의의 삼각형 T에 대해 j중 격자 covering 밀도 ϑᴸʲ(T)의 정확한 값은 무엇인가요?
• RQ3 어떤 격자가 삼각형 T에 대해 최적의 j중 격자 packing 및 covering 밀도를 달성합니까?
• RQ4 삼각형 T에 대해 최적의 j중 격자 packing 및 covering 밀도를 달성하는 서로 다른 격자는 몇 개인가요?
• RQ5 최적의 packing 및 covering 구성은 계단 다각형과 같은 기하학적 도형을 통해 특성화될 수 있나요?

주요 결과

• 모든 삼각형 T에 대해 j중 격자 packing 밀도는 정확히 δᴸʲ(T) = 2j²/(2j+1)이다.
• 모든 삼각형 T에 대해 j중 격자 covering 밀도는 정확히 ϑᴸʲ(T) = (2j+1)/2이다.
• 최적 packing 밀도는 Sⱼ(Λ) = S(j)/(2j)일 때에만 달성되며, 여기서 S(j)는 r = 2j인 표준 r-계단 다각형이다.
• 최적 covering 밀도는 Sⱼ(Λ) = S(j)/(2j+1)일 때에만 달성된다.
• 최적 packing 및 covering 밀도를 달성하는 서로 다른 격자의 수는 (2j+1) × ∏_{p|2j+1} (1 - 2/p)이며, 여기서 곱은 2j+1의 서로 다른 소인수에 대해 수행된다.
• 최적 구성은 평면 상의 정확한 j중 격자 타일링에 해당하며, 스케일링된 다각형 S(j)/(2j) 또는 S(j)/(2j+1)가 기본 도메인을 이룬다.