[논문 리뷰] Multiple Modular Values and the relative completion of the fundamental group of $M_{1,1}$

Francis Brown|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 19.

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한 줄 요약

이 논문은 모듈러 형식의 모티브에 대한 반복적 확장을 구축하며, $\mathcal{M}_{1,1}$의 기본군의 상대적 완비화를 사용하여 다중 모듈러 값과 타원 곡선의 기하학 사이의 연결 고리를 확립한다. 다중 motivic zeta 값에서 반복 Eisenstein 적분 공간으로의 사상의 핵이 측두 형식과 관련된 관계에 의해 생성됨을 증명함으로써, 다중 zeta 값의 측두 결함에 대한 기하학적 설명을 제공한다.

ABSTRACT

Multiple modular values are a common generalisation of multiple zeta values and periods of modular forms, and are periods of a hypothetical Tannakian category of mixed modular motives. They are given by regularised iterated integrals on the upper half plane generalising the iterated Shimura integrals of Manin. In this paper, some first properties of the underlying theory are established in the case of the full modular group: in particular, the relationship with special values of L-functions of modular forms at all positive integers; and the action of the conjectural motivic Galois group via a certain group of automorphisms.

연구 동기 및 목표

• 모듈러 형식에 관련된 모티브의 반복적 확장을 $\mathcal{M}_{1,1}$의 기본군의 상대적 완비화를 사용하여 구축한다.
• 혼합 호지 구조의 Tannakian 범주에서의 프로대수적 군 $\mathcal{G}^{\mathcal{H}}_{1,1}$의 구조를 이해한다.
• 기하적 제약 조건과 단형성에 의해 motivic 다중 zeta 값과 반복 Eisenstein 적분, 측두 형식을 연결한다.
• 반복 Eisenstein 적분 공간 내에서 측두 형식과의 수직성에 의해 다중 zeta 값의 측두 결함을 설명한다.

제안 방법

• Betti 및 de Rham 실현이 혼합 호지 구조를 갖는 Tannakian 범주 $\mathcal{H}$ 내에서 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$의 상대적 완비화 $\mathcal{G}^{\mathcal{H}}_{1,1}$를 프로대수적 군으로 사용한다.
• 범주 $\mathcal{H}$에 대한 Tannaka dualit의 적용으로, Tannaka 군 $\mathcal{G}^{\omega}_{\mathcal{H}}$가 $\mathcal{G}^{\omega}_{1,1}$ 위에 자동형사상 $\mathbb{A}^{\omega}$를 통해 작용함을 정의하며, 이는 측두에서의 관성과 단형성과 호환된다.
• 기하 부분 $\mathfrak{u}^{\mathrm{geom}}$의 군합리적 대수의 계수를 분석하여, 이가 zeta 원소 $\sigma_{2n+1}$에 의해 생성되는 이중지표 대수로 식별된다.
• 다음과 같은 정확한 수열을 수립하여 $\mathfrak{d}^1$과 $\mathfrak{d}^2$ 사이의 관계를 밝혀내며, $\mathfrak{d}^2$로의 사상의 핵이 측두 형식의 주기 다항식 공간과 동형임을 보인다. 예를 들어, 무게 12에서 $X^8Y^2 - 3X^6Y^4 + 3X^4Y^6 - X^2Y^8$의 형태이다.
• 분해 정리(decomposition theorem)를 사용하여 Eisenstein 급수의 반복 적분 공간을 이중의 $\sigma_{2n+1}$에 대한 텐서 코알제브라에 통합함을 보이며, 무게 12에서 $\mathrm{gr}^L_2\mathcal{O}(\mathfrak{u}^{\mathrm{geom}}_+)$의 이미지가 $3f_3 \wedge f_9 + f_5 \wedge f_7$에 의해 생성되는 일차원 부분공간임을 보인다.
• 정규화된 다중 타원 로그다발 및 반복 Eisenstein 적분의 값이 측두 형식과 수직임을 증명함으로써, 다중 zeta 값의 측두 결함에 대한 기하학적 설명을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모듈러 형식의 모티브에 대한 모든 기대되는 확장을 $\mathcal{M}_{1,1}$의 기본군의 상대적 완비화가 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$에 대해 생성할 수 있는가?
• RQ2 motivic 다중 zeta 값은 반복 Eisenstein 적분과 측두 형식과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 다중 zeta 값의 측두 결함의 기하학적 기원은 무엇인가?
• RQ4 $\mathcal{G}^{\mathcal{H}}_{1,1}$의 대수적 군의 Lie 대수 내에서 $\sigma_f(d)$ 원소들 간의 관계는 어떻게 측두 형식과 관련되는가?
• RQ5 한계 혼합 호지 구조는 $\mathcal{G}^{\mathcal{H}}_{1,1}$의 구조를 어떻게 코딩하는가?

주요 결과

• motivic 다중 zeta 값에서 반복 Eisenstein 적분 공간으로의 사상의 핵은 $\overline{\mathbb{Q}}$ 위에서, 무게 $2n+2$인 정규화된 Hecke 측두 형식 $f$에 대해 $\sigma_f(d)\mathbf{e}_f$ 형태의 관계들에 의해 생성된다.
• 무게 12에서 주기 다항식 $X^8Y^2 - 3X^6Y^4 + 3X^4Y^6 - X^2Y^8$는 $\mathfrak{d}^2$ 내에서 Ihara-Takao 관계 $[\mathrm{gr}_D^1\sigma_3, \mathrm{gr}_D^1\sigma_9] - 3[\mathrm{gr}_D^1\sigma_5, \mathrm{gr}_D^1\sigma_7] = 0$와 대응된다.
• 무게 12에서 $\mathrm{gr}^L_2\mathcal{O}(\mathfrak{u}^{\mathrm{geom}}_+)$의 이미지가 곱의 모듈로에서의 부분공간은 측두 형식의 이중공간 내에서 $3f_3 \wedge f_9 + f_5 \wedge f_7$에 의해 생성되는 일차원 부분공간이다.
• 예를 들어, 이중 motivic zeta 값인 $\zeta^{\mathfrak{m}}(3,9)$와 $\zeta^{\mathfrak{m}}(4,8)$는 각각 $-9(3f_3 \wedge f_9 + f_5 \wedge f_7)$와 $16(3f_3 \wedge f_9 + f_5 \wedge f_7)$로 사상되며, 이는 측두 형식과의 수직성과 일치한다.
• 선형 조합 $9[\mathbf{e}_4\mathsf{Y}^2, \mathbf{e}_{10}\mathsf{Y}^8] + 14[\mathbf{e}_6\mathsf{Y}^4, \mathbf{e}_8\mathsf{Y}^6]$는 $\mathrm{gr}^L_2\mathcal{O}(\mathfrak{u}^{\mathrm{geom}}_+)$의 이미지에 속하며, 모든 측두 형식과 수직이므로 측두 결함에서 $L$-값의 상쇄 현상에 대한 설명을 제공한다.
• 정규화된 다중 타원 로그다발에서 유도된 반복 Eisenstein 적분은 측두 형식과 수직이며, 이는 다중 zeta 값의 측두 결함에 대한 기하학적 설명을 제공한다.