[논문 리뷰] Multiple Orthogonal Polynomials and Random Walks

Amílcar Branquinho, Ana Foulquié‐Moreno외 3명|arXiv (Cornell University)|2021. 03. 25.

Mathematical functions and polynomials참고 문헌 46인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 다중 직교다항식과 일차원 랜덤 워크 사이의 관계를 조사하며, 최초 통과 시간, 재귀성 성질, 그리고 상태의 비재귀성, 영재귀성, 양재귀성으로의 분류에 초점을 맞춘다. 비가역 마코프 체인에서 정수 값을 갖는 증분을 가진 경우, 상태의 재귀성은 귀환 확률의 합이 발산하는 것과 동치이며, 평균 최초 통과 시간은 재귀성이 양재귀성인지 영재귀성인지 결정한다.

ABSTRACT

Given a non-negative Jacobi matrix describing higher order recurrence relations for multiple orthogonal polynomials of type~II and corresponding linear forms of type I, a general strategy for constructing a pair of stochastic matrices, dual to each other, is provided. The corresponding Markov chains (or 1D random walks) allow, in one transition, to reach for the N-th previous states, to remain in the state or reach for the immediately next state. The dual Markov chains allow, in one transition, to reach for the N-th next states, to remain in the state or reach for immediately previous state. The connection between both dual Markov chains is discussed at the light of the Poincaré's theorem on ratio asymptotics for homogeneous linear recurrence relations and the Christoffel-Darboux formula within the sequence of multiple orthogonal polynomials and linear forms of type I. The Karlin-McGregor representation formula is extended to both dual random walks, and applied to the discussion of the corresponding generating functions and first-passage distributions. Recurrent or transient character of the Markov chain is discussed. Steady state and some conjectures on its existence and the relation with mass points are also given. The Jacobi-Piñeiro multiple orthogonal polynomials are taken as a case study of the described results. For the first time in the literature, an explicit formula for the type~I Jacobi--Piñeiro polynomials is determined. The region of parameters where the Markov chains are recurrent or transient is given, and it is conjectured that when recurrent, the Markov chains are null recurrent and, consequently, the expected return times are infinity. Examples of recurrent and transient Jacobi--Piñeiro random walks are constructed explicitly.

연구 동기 및 목표

• 최초 통과 시간 분포를 이용한 일차원 랜andom 워크의 확률적 구조 분석.
• 최초 통과 확률을 통한 비가역 마코프 체인에서 상태의 재귀성과 비재귀성의 특성화.
• 평균 최초 통과 시간의 유한성에 기반한 상태의 양재귀성 또는 영재귀성으로의 분류 조사.
• 비가역 체인에서 무한한 기대 귀환 시간과 영재귀성 간의 동치성 확립.
• 직교다항식 이론과 랜덤 워크의 전이행렬 스펙트럼 성질 간의 연결

제안 방법

• 정수 값을 갖는 증분을 가진 이산 시간 마코프 체인으로 일차원 랜덤 워크를 모델링.
• 최초 통과 시간 확률 $ f_{ij}^n $ 을 정의: 상태 $ i $ 에서 출발하여 시간 $ n $ 에 처음으로 상태 $ j $ 를 방문할 확률.
• 누적 최초 통과 확률 $ F^n_{ij} = \sum_{m=1}^n f_{ij}^m $ 을 도입하며, $ n \to \infty $ 일 때 $ F^\infty_{ij} $ 로 수렴한다.
• 재귀성 정의를 위해 $ F^\infty_{jj} = 1 $ 을 사용: 만약 상태 $ j $ 로의 최종 귀환 확률이 1이라면, 상태 $ j $ 는 재귀적이다.
• 재귀성 판단 기준으로 $ \sum_{n=1}^\infty P_{jj}^n = \infty $ 를 적용하며, 이는 상태 방문의 갱신 과정과 연결된다.
• 각각 $ \mathbb{E}[T_{jj}] < \infty $ 또는 $ \mathbb{E}[T_{jj}] = \infty $ 일 때, 재귀성을 양재귀성 또는 영재귀성으로 분류.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일차원 랜덤 워크에서 상태가 재귀적 또는 비재귀적인지를 결정하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 비가역 마코프 체인에서 $ \sum_{n=1}^\infty P_{jj}^n $ 의 발산성은 재귀성과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 최초 통과 시간 분포는 재귀성 성질을 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 평균 최초 통과 시간은 재귀성의 양재귀성 또는 영재귀성으로의 분류와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 다중 직교다항식은 이러한 랜덤 워크의 전이행렬 스펙트럼 분석으로부터 어떻게 도출되는가?

주요 결과

• 상태 $ j $ 는 $ \sum_{n=1}^\infty P_{jj}^n = \infty $ 이면 오직 그때만 재귀적이다. 이는 $ j $ 로의 귀환 횟수가 거의 확실하게 무한함을 의미한다.
• 상태 $ j $ 는 $ \mathbb{E}[T_{jj}] < \infty $ 이면 양재귀적이고, $ \mathbb{E}[T_{jj}] = \infty $ 이면 영재귀적이다. 후자는 무한한 기대 귀환 시간을 의미한다.
• 비가역 마코프 체인에서는 모든 상태가 동시에 모두 양재귀적, 또는 모두 영재귀적, 또는 모두 비재귀적이다.
• 누적 최초 통과 확률 $ F^n_{ij} $ 는 단조로이 증가하며 $ F^\infty_{ij} \leq 1 $ 으로 수렴하며, 이는 상태 $ i $ 에서부터 상태 $ j $ 로의 최종 방문 확률을 나타낸다.
• 재귀적 상태 $ j $ 에 대해, 시간 $ t $ 까지의 방문 횟수를 세는 카운팅 과정 $ N_{jj}(t) $ 는 거의 확실하게 $ \lim_{t \to \infty} N_{jj}(t) = \infty $ 를 만족한다.
• 재귀성 분류는 시리즈 $ \sum_{n=1}^\infty P_{jj}^n $ 의 수렴 또는 발산 여부에 의해 완전히 결정되며, 이는 상태 $ j $ 로의 기대 귀환 횟수의 발산과 동치이다.