[논문 리뷰] Multiple pattern matching: A Markov chain approach

Manuel E. Lladser, Meredith D. Betterton외 1명|ArXiv.org|2007. 04. 24.

RNA and protein synthesis mechanisms참고 문헌 62인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 메모리리스 소스에서 생성된 무작위 문자열에서 다중 패턴—특히 관련된 RNA 모티프—의 확률을 분석하기 위해 유한 오토마타를 사용하는 통합된 마르코프 체인 임bedding 프레임워크를 제시한다. 패턴 매칭을 오토마타 상의 마르코프 과정으로 모델링함으로써, 발생 확률, 최초 도착 시간, 빈도 분포를 정확하게 계산할 수 있으며, 생성함수와 부분 분수 분해를 통해 점점 더 발전하는 점근적 결과를 도출한다.

ABSTRACT

RNA motifs typically consist of short, modular patterns that include base pairs formed within and between modules. Estimating the abundance of these patterns is of fundamental importance for assessing the statistical significance of matches in genomewide searches, and for predicting whether a given function has evolved many times in different species or arose from a single common ancestor. In this manuscript, we review in an integrated and self-contained manner some basic concepts of automata theory, generating functions and transfer matrix methods that are relevant to pattern analysis in biological sequences. We formalize, in a general framework, the concept of Markov chain embedding to analyze patterns in random strings produced by a memoryless source. This conceptualization, together with the capability of automata to recognize complicated patterns, allows a systematic analysis of problems related to the occurrence and frequency of patterns in random strings. The applications we present focus on the concept of synchronization of automata, as well as automata used to search for a finite number of keywords (including sets of patterns generated according to base pairing rules) in a general text.

연구 동기 및 목표

• 무작위 생물학적 서열에서 다중 패턴의 발생 확률을 계산하기 위한 일반적인 수학적 프레임워크를 개발하는 것.
• 기저 쌍을 이룬 모듈러 패턴을 포함한 구조적 상관관계가 있는 RNA 모티프의 통계적 유의성을 다루는 것.
• 오토마타 이론, 생성함수, 마르코프 체인에서 파생된 다양한 접근법을 통합하여 일관된 패턴 분석 방법을 만드는 것.
• 몬테카를로 시뮬레이션과 같은 계산 비용이 큰 방법을 피하면서도, 패턴의 최초 도착 시간과 빈도 분포에 대한 정확한 해석적 해를 제공하는 것.
• 독립적이고 상관관계가 있는 패턴, 특히 장거리 의존성을 가진 모듈러 RNA 모티프를 포함한 패턴을 다룰 수 있도록 프레임워크를 확장하는 것.

제안 방법

• 기본 쌍을 이룬 제약 조건이 있는 복합 및 모듈러 패턴을 인식하기 위해 결정성 유한 오토마타(DFA)를 구성하는 것.
• 메모리리스 소스의 i.i.d. 기호 확률에 따라 상태 전이가 이루어지는 마르코프 체인을 정의함으로써 무작위 텍스트 생성 과정을 오토마타에 임베딩하는 것.
• 패턴 발생 시간의 생성함수를 계산하기 위해 전이 행렬 방법과 생성함수를 사용하는 것.
• 최초 도착 시간 분포의 점근적 표현을 추출하기 위해 부분 분수 분해를 적용하며, 예를 들어 $\text{Prob}[T=n] \sim c_2 \cdot n^2 / 2^n$ 와 같은 형태로 표현된다.
• 오토마타의 동기화 및 상태 집약을 활용하여 다중 키워드 검색과 상관관계가 있는 모듈러 패턴을 모델링하는 것.
• 재귀적 상태 전이를 통해 $n$ 문자 이후 최초 발생 확률과 패턴 발생 횟수의 기대값에 대한 명시적 공식을 유도하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 메모리리스 소스에서 생성된 무작위 문자열에서 주어진 패턴 집합이 $n$개의 문자 이후에 최초로 나타나는 정확한 확률은 무엇인가요?
• RQ2 시뮬레이션 없이도 길이 $n$인 무작위 문자열에서 다중 패턴의 빈도를 해석적으로 계산할 수 있는 방법은 무엇인가요?
• RQ3 두 키워드로 구성된 복합 패턴의 최초 도착 시간의 점근적 분포는 어떻게 되나요?
• RQ4 기저 쌍을 이루는 규칙으로 연결된 하위 패턴을 가진 상관관계 있는 모듈러 패턴은 어떻게 모델링하고, 그 발생 확률은 어떻게 계산할 수 있나요?
• RQ5 마르코프 체인 임베딩 프레임워크는 마르코프 모델이나 숨은 마르코프 모델과 같은 i.i.d. 가정이 아닌 모델로도 확장될 수 있나요?

주요 결과

• 무작위 문자열에서 패턴의 최초 도착 시간 분포는 점근적으로 $\text{Prob}[T=n] \sim c_2 \cdot n^2 / 2^n$ 와 같이 나타나며, 여기서 $c_2$ 는 생성함수의 부분 분수 분해로부터 도출된 계산 가능한 상수이다.
• 복합 패턴(예: 두 키워드)이 무작위 문자열에서 최초로 나타나는 확률은 오토마타에 임bedded된 마르코프 체인의 전이 행렬을 사용하여 정확히 계산할 수 있다.
• 무작위 문자열 길이 $n$에서 패턴의 발생 횟수 기대값은 패턴 발생 과정의 생성함수로부터 유도할 수 있다.
• 기본 쌍을 이루는 제약 조건이 있는 모듈러 패턴의 경우, 이 프레임워크를 통해 이러한 패턴의 점근적 빈도 분포를 계산할 수 있다.
• 희귀 사건에 대한 낮은 $p$-값을 정확하게 분석 계산할 수 있어 몬테카를로 시뮬레이션에 비해 상당한 성능 향상을 제공한다.
• 이 프레임워크는 모티프 탐색, 스플라이싱 조절, 리보자임 모티프 탐지와 같은 생물정보학 분야의 다양한 패턴 매칭 문제를 하나의 수학적 형식으로 통합하여 분석할 수 있다.