[논문 리뷰] Multiple points of immersions

Konstantin Salikhov|ArXiv.org|2002. 03. 13.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 차원 조건 $(k+1)(n+1) \leq km$ 하에서, 정칙 호모토피류 $V^n \looparrowright M^m$ 가 $k$-immersion(즉, $k$-겹 접점이 없는 임베딩)을 포함하는지 여부를 판단하기 위한 보르스미아 군에서의 완전한 차단 요소를 구성한다. 이 차단 요소가 영이 되는 것은 오직 그러한 $k$-immersion가 존재할 때에만이며, 이는 보르스미아 이론적 방법과 등변 기법을 사용하여 $k=2$일 때 허플러거의 결과를 일반화한 것이다.

ABSTRACT

Given smooth manifolds $V^n$ and $M^m$, an integer $k$, and an immersion $f:V\looparrowright M$, we have constructed an obstruction for existence of regular homotopy of $f$ to an immersion $f':V\looparrowright M$ without $k$-fold points. This obstruction takes values in certain framed bordism group, and for $(k+1)(n+1)\leq km$ turns out to be complete.

연구 동기 및 목표

• 정칙 호모토피류 $V^n \looparrowright M^m$ 가 $k$-immersion(즉, $k$-겹 접점이 없는 임베딩)을 포함하는지 여부를 결정하는 것.
• 보르스미아 이론과 등변 기법을 사용하여 $k=2$일 때 허플러거의 결과를 더 높은 $k$로 일반화하는 것.
• 차원 조건 $(k+1)(n+1) \leq km$ 하에서 보르스미아 군에서 $k$-immersion 존재 여부를 탐지하는 완전한 차단 요소를 구성하는 것.
• 여러 개의 임베딩 $f_1, \dots, f_k$ 가 공통의 $k$-겹 접점을 가지는 경우를 고려하여 이들의 교점을 정칙 호모토피를 통해 제거할 수 있는지에 대한 기준을 제공하는 것.

제안 방법

• 일반적인 임베딩 $f: V^n \looparrowright M^m$ 에 대해 $k$-겹 접점의 다양체 $\overline{\pitchfork}(f^{(k)})$ 를 정의하며, 이는 차원 $kn - (k-1)m$ 인 부분다양체로 임베딩된다.
• 정칙 호모토피류에 따라 오직 결정되는 특정 등변 보르스미아 군 $\Omega_{kn - (k-1)m}(E_k; \xi(f))$ 에 원소 $b(f^{(k)})$ 를 할당한다.
• 대칭군 $\Sigma_k$ 가 $k$-겹 커버링 $\widehat{\overline{\pitchfork}(f^{(k)})}$ 에 작용하는 것을 이용해 $\Sigma_k$-등변 보르스미아 동치류를 정의한다.
• $\widehat{\overline{\pitchfork}(f^{(k)})}$ 와 동일한 보르스미아 동치류의 대표자 $N$ 사이의 $\Sigma_k$-등변 보르스미아 $J: \widehat{W} \to \widehat{E_k}$ 를 구성한다.
• 일반 위치 원리를 적용하여, $B: (\widehat{W} \times T)/\Sigma_k \to M$ 의 사상이 $f(V)$ 의 자기 교차점과의 교차를 피하고, 정규성을 확보하도록 변형한다.
• 보르스미아 군에서의 동치류가 영이면, $\Sigma_k$-불변 임베딩 $H: \widehat{W}^+ \times T^+ \to M$ 를 구성하여 $k$-겹 접점을 제거하는 정칙 호모토피를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정칙 호모토피류 $V^n \looparrowright M^m$ 가 $k$-immersion를 포함할 수 있는 차원 조건은 무엇인가?
• RQ2 임베딩에서 $k$-겹 접점을 제거하기 위한 완전한 보르스미아 이론적 차단 요소가 존재하는가?
• RQ3 이 방법은 $k$ 개의 서로 다른 임베딩 $f_1, \dots, f_k$ 가 공통의 $k$-겹 교차점을 가지는 경우로 확장될 수 있는가?
• RQ4 특수한 경우에서 $k$-겹 접점의 부호 또는 mod 2 수와 $k$-immersion 존재성 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 차원 조건 $(k+1)(n+1) \leq km$ 하에서, 보르스미아 군에 속한 차단 요소 $b(f^{(k)}) \in \Omega_{kn - (k-1)m}(E_k; \xi(f))$ 는 $k$-immersion 존재 여부를 탐지하는 데 완전하다.
• 만약 보르스미아 군에서 $b(f^{(k)}) = 0$ 이면, $f$ 는 $k$-immersion로 정칙 호모토피 가능하다.
• $V^{(k-1)r} \looparrowright M^{kr}$ 이고 $r > k$ 이면, 일반적인 임베딩은 $k$-immersion로 정칙 호모토피 가능할 조건은 부호 수 $I(f) = 0$ 이다.
• $M = \mathbb{R}^{kr}$ 이고 $r > k$ 이며 홀수이면, 임의의 임베딩 $V^{(k-1)r} \looparrowright \mathbb{R}^{kr}$ 는 $k$-immersion로 정칙 호모토피 가능하다.
• $k$ 개의 임베딩 $f_1, \dots, f_k$ 는 공통의 $k$-겹 교차점이 없도록 정칙 호모토피 가능할 조건은 그들의 이미지가 연속적으로 공통 교차점이 없는 상태로 변형될 수 있을 때이다.
• $V_i$ 가 $p$-연결이고 $M$ 이 $(p+1)$-연결이며 $p \in \{4,5,12\}$ 이면, 임의의 $k$ 개의 임베딩은 공통 교차점이 없도록 정칙 호모토피 가능하다.