[논문 리뷰] Multiple positive solutions for a class of p-Laplacian Neumann problems without growth conditions

Alberto Boscaggin, Francesca Colasuonno외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 16.

Nonlinear Partial Differential Equations인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 볼 또는 동심원환형 영역에서 p-Laplacian Neumann 문제에 대해 초과임베딩(super-critical)일 수 있는 비선형성 $ f $ 가 존재할지라도, 비상수의 반경 방향 양해를 다수 존재함을 증명한다. 射撃법(shooting method)을 사용하여, $ f'(1) > \lambda_{k+1}^{\text{rad}} $ 이면 정확히 $ k $ 번 상수해 $ u \equiv 1 $ 와 교차하는 반경 해가 최소 $ k $ 개 존재함을 보이며, 이는 $ p=2 $ 에서 오랫동안 제기된 추측을 확인하고 일반적인 $ p \in (1,\infty) $ 로 확장한다.

ABSTRACT

For $10 ext{ in }Ω,\quad\partial_νu=0 ext{ on }\partialΩ, $$ where $Ω\subset\mathbb R^N$ is either a ball or an annulus. The nonlinearity $f$ is possibly supercritical in the sense of Sobolev embeddings; in particular our assumptions allow to include the prototype nonlinearity $f(s)=-s^{p-1}+s^{q-1}$ for every $q>p$. We use the shooting method to get existence and multiplicity of non-constant radial solutions. With the same technique, we also detect the oscillatory behavior of the solutions around the constant solution $u\equiv1$. In particular, we prove a conjecture proposed in [D. Bonheure, B. Noris, T. Weth, {\it Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Lináire} vol. 29, pp. 573-588 (2012)], that is to say, if $p=2$ and $f'(1)>λ_{k+1}^{rad}$, there exists a radial solution of the problem having exactly $k$ intersections with $u\equiv1$ for a large class of nonlinearities.

연구 동기 및 목표

• Sobolev 임베딩의 관점에서 초과임베딩일 수 있는 비선형성을 가진 p-Laplacian Neumann 문제에 대해 비상수의 반경 해가 다수 존재하는지 다루기.
• 상수해 $ u \equiv 1 $ 주변에서 정확히 $ k $ 번 진동하는 해의 존재를 증명하며, 이는 정확히 $ k $ 번의 교차를 의미한다.
• Bonheure 등 (2012)의 논문에서 $ p=2 $ 에 대해 제기된 추측을 일반적인 $ p \in (1,\infty) $ 로 확장하며, 특히 $ f'(1) > \lambda_{k+1}^{\text{rad}} $ 인 경우에 대해 다룬다.
• $ p \neq 2 $ 일 때의 분기 구조와 해의 다중성 분석을 수행하며, 특히 $ p < 2 $ 와 $ p > 2 $ 의 경우 해의 분지가 서로 다를 수 있음을 다룬다.
• 초기값 $ u(0) < 1 $ 인 해를 탐지하기 위한 엄밀한 프레임워크를 제공하고, $ p < 2 $ 일 때 $ u(0) > 1 $ 인 해에 대한 열린 문제를 규명한다.

제안 방법

• p-Laplacian Neumann 문제의 반경 ODE 형태에 射撃법을 적용하여, 초기값 $ u(0) $ 를 매개변수로 간주한다.
• 구 또는 동심원환형 영역의 반경 대칭성을 이용해 PDE 를 반경 변수 $ r $ 에 대한 두 번째 차수 ODE 로 축소하며, Neumann 경계 조건을 적용한다.
• 해의 진동 행동을 분석하기 위해 $ u(r) - 1 $ 이 $ (R_1, R_2) $ 내에서 부호가 몇 번 바뀌는지 추적하며, 이는 상수해와의 교차 수에 해당한다.
• 기존의 $ p=2 $ 에서의 해를 기반으로 하여 매개변수 $ p $ 에 대한 분기 기법을 활용해 $ p \neq 2 $ 에 대한 해 분지를 구성한다.
• 수치적 연속법(예: AUTO07p)을 사용해 해 분지를 추적하고, 특히 $ p < 2 $ 일 때 분지가 두 갈래로 갈라지는 현상을 탐지한다.
• 위상적 및 변분적 추론에 기반해 존재성 결과를 확립하며, Neumann 조건을 가진 p-Laplacian의 반경 고유값 $ \lambda_k^{\text{rad}} $ 을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 p-Laplacian Neumann 문제에 대해 비상수의 반경 해가 다수 존재하기 위한 $ f $ 의 최소 성장 조건은 무엇인가?
• RQ2 만약 $ f'(1) > \lambda_{k+1}^{\text{rad}} $ 이면, 정확히 $ k $ 번 $ u \equiv 1 $ 과 교차하는 반경 해는 몇 개인가? 이는 일반적인 $ p \in (1,\infty) $ 에서도 성립하는가?
• RQ3 특히 $ p < 2 $ 일 때 해의 구조는 어떻게 변화하는가? 특히 해 분지가 갈라지고 동일한 진동 패턴을 가진 다수의 해가 나타나는가?
• RQ4 특히 $ p < 2 $ 일 때 $ u(0) > 1 $ 인 해를 찾을 수 있는가? 어떤 조건에서 존재할 수 있는가?
• RQ5 영역 크기 대신 $ p $ 를 변화시킬 때 분기 구조가 유지되는가? 그리고 $ p \in (p_{\text{min}}, 2) $ 에서 $ 2k $ 개의 해를 얻을 수 있는가?

주요 결과

• 만약 $ f'(1) > \lambda_{k+1}^{\text{rad}} $ 이면, p-Laplacian Neumann 문제에 대해 최소 $ k $ 개의 비상수 반경 해가 존재하며, 이들 각각은 $ (R_1, R_2) $ 내에서 $ u(r) - 1 $ 에 정확히 $ k $ 개의 영점이 있다. 이는 2012년의 추측을 확인한다.
• 만약 $ C_1 = +\infty $ 이면, 문제는 무수히 많은 비상수 반경 해를 가진다. 이는 초과임베딩 비선형성이라도 무수한 다중성을 유지할 수 있음을 시사한다.
• $ p < 2 $ 일 때는 각 해 분지가 두 갈래로 갈라지며, 동일한 진동 행동을 가진 최대 $ 2k $ 개의 반경 해가 존재할 수 있다. 다만 현재까지는 $ u(0) < 1 $ 인 해들만 탐지된 상태이다.
• $ p > 2 $ 일 때는 수치적 증거에 따르면, 동일한 점 $ q = p $ 에서 무수히 많은 해 분지가 분기할 수 있음을 시사하며, 이는 매우 열악한 분기 구조임을 나타낸다.
• $ p=2 $ 에서 시작해 $ p $ 에 대해 수치적 연속법을 적용하면, $ p < 2 $ 에 대한 해 분지를 구성할 수 있으며, 이는 기존의 상수해로부터의 표준 분기로는 접근할 수 없는 해를 탐지할 수 있게 한다.
• 광범위한 수치적 탐색에도 불구하고, $ p < 2 $ 일 때 $ u(0) > 1 $ 인 해의 존재성은 아직 열린 문제이며, 일부 조건 하에서는 존재할 것으로 추측된다.