[논문 리뷰] Multiple-precision zero-finding methods and the complexity of elementary function evaluation

Richard P. Brent|arXiv (Cornell University)|2010. 04. 20.

Numerical Methods and Algorithms인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 로그(x), 지수함수(x), 사인(x) 등의 초월함수를 고정밀도로 평가하기 위한 빠른 다중 정밀도 영점 찾기 알고리즘을 제시한다. 뉴턴 유형의 반복과 가변 정밀도 산술을 사용하여 n비트 정밀도에서 점근적 복잡도가 약 13M(n)log₂n 연산이 되며, 여기서 M(n)은 n비트 수를 곱하는 데 걸리는 시간이다. 이는 고전적 방법에 비해 크게 향상된 성능이다.

ABSTRACT

We consider methods for finding high-precision approximations to simple zeros of smooth functions. As an application, we give fast methods for evaluating the elementary functions log(x), exp(x), sin(x) etc. to high precision. For example, if x is a positive floating-point number with an n-bit fraction, then (under rather weak assumptions) an n-bit approximation to log(x) or exp(x) may be computed in time asymptotically equal to 13M(n)lg(n), where M(n) is the time required to multiply floating-point numbers with n-bit fractions. Similar results are given for the other elementary functions. Some analogies with operations on formal power series (over a field of characteristic zero) are discussed. In particular, it is possible to compute the first n terms in log(1 + a_1.x + ...) or exp(a_1.x + ...) in time O(M(n)), where M(n) is the time required to multiply two polynomials of degree n - 1. It follows that the first n terms in a q-th power (1 + a_1.x + ...)^q can be computed in time O(M(n)), independent of q. One of the results of this paper is the "Gauss-Legendre" or "Brent-Salamin" algorithm for computing pi. This is the first quadratically convergent algorithm for pi. It was also published in Brent [J. ACM 23 (1976), 242-251], and independently by Salamin [Math. Comp. 30 (1976), 565-570].

연구 동기 및 목표

• 임의의 높은 정밀도로 초월함수를 계산하는 효율적인 알고리즘을 개발하기 위해.
• 로그(x), 지수함수(x), 사인(x) 등의 함수 평가에 대한 다중 정밀도 산술에서의 계산 복잡도를 분석하기 위해.
• 고정밀 곱셈의 비용을 바탕으로 이러한 평가에 대한 점근적 시간 복잡도 한계를 설정하기 위해.
• 함수 평가와 형식적 거듭제곱급수 연산 간의 유사성을 밝혀내기 위해.

제안 방법

• 정밀도가 반복 과정 중에 증가하는 가변 정밀도 산술을 사용하여 f(x) = 0을 풀기 위해 뉴턴의 방법을 적용한다.
• 뉴턴-라프슨 및 고차수 방법과 같은 반복 정밀도 향상 기법을 적용하여 제곱수 또는 세제곱수 수렴을 달성한다.
• 반복 과정에서 정밀도 스케일링을 활용: 초기 단계에서는 낮은 정밀도 연산을 사용하고, 최종 단계에서만 전체 정밀도를 적용한다.
• n비트 수 곱셈에 소요되는 시간 M(n)의 점근적 성질을 활용하여 총 연산 수를 유도한다.
• 거듭제곱급수의 합성과 역함수를 통해 함수 평가를 급수 연산(예: log(P(x)), exp(P(x)))으로 환원한다.
• 재귀 관계와 빠른 곱셈을 활용하여 급수 계수를 효율적으로 계산함으로써 총 연산 수를 최소화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 n비트 정밀도로 로그(x) 및 지수함수(x)를 평가하는 데 필요한 최소 계산 복잡도는 무엇인가?
• RQ2 뉴턴 유형의 방법은 가변 정밀도 산술에 어떻게 적응시켜 총 연산 수를 최소화할 수 있는가?
• RQ3 함수 평가와 형식적 거듭제곱급수 연산 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 고차수 수렴 방법은 표준 뉴턴-라프슨 방법에 비해 연산 수를 줄일 수 있는가?
• RQ5 M(n)에 대한 가정, 예를 들어 M(n) = O(n log n log log n)이 함수 평가의 점근적 복잡도에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• n비트 정밀도로 로그(x) 또는 지수함수(x)의 근사값은 n → ∞ 일 때 점근적으로 13M(n)log₂n의 시간에 계산될 수 있다.
• 나눗셈과 역수 평가는 각각 점근적으로 약 4M(n) 및 3M(n)의 연산을 필요로 한다.
• 역근의 제곱근 평가는 약 4.5M(n)의 연산을 차지하고, 제곱근 평가는 약 5.5M(n)의 연산을 차지한다.
• 거듭제곱급수 P(x)의 지수함수는 뉴턴의 방법을 사용해 약 ∼9M(n)의 연산으로 계산될 수 있으며, 4차 수렴 방법을 사용하면 ∼7.3M(n)으로 줄일 수 있다.
• 거듭제곱급수 P(x)의 m제곱은 항등식 P^m = exp(m log(P))를 통해 O(M(n))의 연산으로 계산될 수 있으며, 큰 m에 대해 반복 제곱보다 훨씬 빠르다.
• f의 도함수가 대수적일 경우(예: arctan), f(P(x))의 총 평가 비용은 f가 효율적으로 합성될 수 있다고 가정할 경우 M(n)의 상수배로 제한된다.