[논문 리뷰] Multiple Schramm-Loewner evolutions for coset Wess-Zumino-Witten models

Yoshiki Fukusumi|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 20.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 경계 조건 변화 연산자 상관 함수에 대한 마팅게일 조건을 통해 유도된 드리프트 항을 갖는 리 군 다양체 위의 브라운 운동과 연결된 다중 슈람-뢰버(evolution)를 통해 코셋 웨스-즈وم노-위트만(Wess-Zumino-Witten, WZW) 모델에 대해 다중 슈람-뢰버(evolution)를 수립한다. 주요 기여는 $Z(n)$ 파라페르미온 모델에서 삼중 슈람-뢰버(evolution)의 명시적 드리프트 항 유도 및 크로스링크 확률 계산을 위해 히니즈크니히-자몰로드치크(Knizhnik-Zamolodchikov) 방정식을 활용하는 것이다.

ABSTRACT

We formulate multiple Schramm-Loewner evolutions (SLEs) for coset Wess-Zumino-Witten (WZW) models. The resultant SLEs may describe the critical behavior of multiple interfaces for the 2D statistical mechanics models whose critical properties are classified by coset WZW models. The SLEs are essentially characterized by multiple Brownian motions on a Lie group manifold as well as those on the real axis. The drift terms of the Brownian motions, which come from interactions of interfaces, are explicitly determined by imposing a martingale condition on correlation functions among boundary condition changing operators. As a concrete example, we formulate multiple SLE on the $Z(n)$ parafermion model and calculate the crossing probability which is closely related to 3-SLE drift terms.

연구 동기 및 목표

• 코셋 WZW 모델에 대해 단일 슈람-뢰버(evolution)를 다중 슈람-뢰버(evolution)로 확장하여 내부 자유도를 고려한다.
• 리 군 값 브라운 운동을 통합함으로써 $G/A$ 코셋 WZW 모델에 대해 다중 슈람-뢰버(evolution)의 일관된 프레임워크를 수립한다.
• 경계 조건 변화 연산자 상관 함수에 대한 마팅게일 조건을 통해 다중 슈람-뢰버(evolution) 트레이스의 명시적 드리프트 항을 유도한다.
• 형식을 $Z(n)$ 파라페르미온 모델에 적용하고, 히니즈크니히-자몰로드치크(Knizhnik-Zamolodchikov) 방정식을 통해 크로스링크 확률을 계산한다.
• 기하학적 슈람-뢰버(evolution)를 초월하여 리 군 대칭이 다중 슈람-뢰버(evolution)의 역학을 어떻게 결정짓는지 명확히 한다.

제안 방법

• 프레임워크는 실수 축과 리 군 다양체 위의 브라운 운동에 의해 구동되는 다중 슈람-뢰버(evolution)를 사용하며, 위치 $x_{\beta t}$와 군 원소 $g_t(z)$에 대한 확률 미분 방정식을 포함한다.
• 경계 조건 변화 연산자 상관 함수에 대한 마팅게일 조건을 적용하여 드리프트 항 $dF_{\beta t}$와 $dG_{\beta t}^a$를 유도한다.
• 상호작용에 기인한 드리프트를 포함하는 분할 함수 $Z_t = \langle \psi_\Lambda(x_{1t}) \cdots \psi_\Lambda(x_{mt}) \psi_{\lambda_{m+1}}(\infty) \rangle$가 정의된다.
• 주요 장의 확률 미분은 OPE 가정과 워드 항등식을 사용하여 계산되며, 이는 상관 함수에 대한 KZ 방정식을 이끈다.
• 형식은 $SU(2)_k$ 모델에서의 명시적 계산을 위해 워키모 프리 필드 표현과 보존화 기법에 의존한다.
• $Z(n)$ 모델의 경우 FZ 점이 임계점으로 정의되며, 크로스링크 확률은 초함수를 통해 계산된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 내부 대칭 자유도를 갖는 코셋 CFT에 대해 다중 슈람-뢰버(evolution)를 어떻게 일관되게 수립할 수 있는가?
• RQ2 코셋 CFT에서 경계 조건 변화 연산자를 통해 상호작용이 유도될 때, 다중 슈람-뢰버(evolution) 트레이스의 명시적 드리프트 항은 무엇인가?
• RQ3 표준 슈람-뢰버(evolution)와 비교해 리 군 값 브라운 운동은 다중 슈람-뢰버(evolution)의 역학을 어떻게 수정하는가?
• RQ4 $Z(n)$ 파라페르미온 모델에서 세 개의 인터페이스에 대한 크로스링크 확률은 무엇이며, 이는 히니즈크니히-자몰로드치크(Knizhnik-Zamolodchikov) 방정식과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 $SU(2)_2$ WZW 모델의 슈람-뢰버(evolution) 매개변수는 국소 역학이 다를지라도 이징 모델의 매개변수와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 코셋 WZW 모델에 대해 다중 슈람-뢰버(evolution)의 드리프트 항은 $dF_{\alpha t} = \kappa dq_\alpha \partial_{x_{\alpha t}} \log Z_t + 2\sum_{\beta \neq \alpha} \frac{dq_\beta}{x_{\alpha t} - x_{\beta t}}$ 와 $dG_{\alpha t}^a = \frac{\tau}{Z_t} \sum_{\beta \neq \alpha} \frac{t^{a}_{\lambda_\beta} Z_t}{x_{\beta t} - x_{\alpha t}} dq_\alpha$ 로 명시적으로 유도되며, 여기서 $Z_t$는 경계 조건 변화 연산자의 분할 함수이다.
• $Z(n)$ 파라페르미온 모델의 경우 삼중 슈람-뢰버(evolution) 드리프트 항은 히니즈크니히-자몰로드치크(Knizhnik-Zamolodchikov) 방정식을 통해 계산되며, 이는 크로스링크 확률 계산을 가능하게 한다.
• $SU(2)_2$ WZW 모델의 크로스링크 확률은 $Z_{C_2}(x) = x^{1/8}(1-x)^{1/8} F(5/4, 3/4; 3/2; x)$ 로 주어지며, 이는 이징 모델의 크로스링크 확률과 일치하지만, 슈람-뢰버(evolution) 매개변수는 다르다.
• 마팅게일 조건은 슈람-뢰버(evolution) 과정과 경계 conformal field theory 상관 함수 사이의 일관성을 보장하여 구성의 타당성을 검증한다.
• $SU(2)_2$ WZW 모델은 이징 모델과 동일한 전역 크로스링크 행동을 보이지만, $\kappa = 16/5$, $\tau = 2/5$ 이며, 이는 이징 모델의 $\kappa = 16/3$, $\tau = 0$ 과 대비된다. 이는 국소 역학이 다를지라도 전역 관측량은 동일할 수 있음을 보여준다.
• 형식은 리 군 대칭이 다중 슈람-뢰버(evolution)의 역학을 상당히 변화시킨다는 것을 입증하며, 이는 단일 슈람-뢰버(evolution)가 이러한 대칭에 의해 기하학적으로 변화되지 않는다는 점과 대비된다.