[논문 리뷰] Multiple solutions to a Caffarelli-Kohn-Nirenberg type equation with asymptotically linear term

Benjin Xuan|ArXiv.org|2004. 04. 02.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 무한히 많은 해가 존재함을 증명한다. 이는 무한대에서 점점 선형적으로 수렴하는 비선형성을 가진 특이 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 형식의 p-라플라스 방정식에 대해, Ambrosetti-Rabinowitz 조건이 실패하는 상황을 극복하기 위해 Cerami 조건의 등가 형태를 사용함으로써 이루어진다. 이는 가중 치수 공간에서 대칭 산맥 길이 정리의 적용을 통해 이루어지며, 이는 무한히 많은 기하학적으로 다른 해의 존재를 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, we study the existence of multiple solutions to a Caffarelli-Kohn-Nirenberg type equation with asymptotically linear term at infinity. In this case, the well-known Ambrosetti-Rabinowtz type condition doesn't hold, hence it is difficult to verify the classical (PS)$_c$ condition. To overcome this difficulty, we use an equivalent version of Cerami's condition, which allows the more general existence result.

연구 동기 및 목표

• 무한대에서 점점 선형적으로 수렴하는 비선형성을 가진 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 형식 방정식에 대해 다수의 해가 존재함을 증명한다.
• 비선형성이 점점 선형적일 경우 고전적인 Ambrosetti-Rabinowitz 조건이 실패함에 따라 표준 Palais-Smale 수열의 유계성을 확보할 수 없음을 해결한다.
• 이전의 비특이 케이스(a=0)에 대한 존재 결과를 특이 케이스(0≤a<(n−p)/p)로 확장하며, c>0 조건을 포함한다.
• 에너지 함수에 대해 가중 치수 공간에서 Cerami 조건(C)을 검증한다.
• 대칭성과 성장 조건 하에서 대칭 산맥 길이 정리를 적용하여 무한히 많은 기하학적으로 다른 해를 도출한다.

제안 방법

• Ambrosetti-Rabinowitz 조건이 실패할 경우 표준 Palais-Smale 조건을 대체하기 위해 Cerami 조건(C)의 등가 형태를 사용한다. 이는 조건이 실패할 경우에도 분석이 가능하도록 한다.
• 가중 치수 공간 X에서 대칭 산맥 길이 정리를 적용한다. 여기서 X는 |x|^{-ap} 및 |x|^{-(a+1)p+c} 가중치를 포함하는 노름으로 정의된다.
• 반증을 통해 Palais-Smale 수열의 유계성을 확립한다. 유계성이 없다는 가정이 에너지 및 노름 추정에서 모순을 일으킴으로써 이를 증명한다.
• Krasnoselskii 종수 이론을 사용하여 임계 값을 정의하고 다수의 임계점을 존재함을 증명한다.
• 가중 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 부등식을 사용하여 가중 치수 공간에서 레베그 공간으로의 임베딩을 제어한다.
• 산맥 기하학을 적용한다: 유한 차원 부분공간에서 큰 구 위에서는 에너지가 음이 되며, 원점 근처에서는 에너지가 양이 된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형성이 무한대에서 점점 선형적으로 수렴할 경우 특이 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 방정식에 대해 다수의 해를 존재함을 증명할 수 있는가?
• RQ2 특이 가중치를 가진 p-라플라스 방정식의 맥락에서 Ambrosetti-Rabinowitz 조건의 실패를 어떻게 극복할 수 있는가?
• RQ3 표준 (PS) 조건이 실패할 경우 Palais-Smale 수열의 수렴을 보장하는 어떤 컴팩턴스 조건이 필요한가?
• RQ4 무한히 많은 해를 도출하기 위해 대칭 산맥 길이 정리를 적용할 수 있는가? 조건은 점점 선형적인 성장 조건을 만족한다.
• RQ5 가중 치수 공간의 임베딩과 Krasnoselskii 종수는 다수의 해 존재를 증명하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 방정식과 관련된 에너지 함수는 모든 d≥0 수준에서 Cerami 조건(C)을 만족하며, 이는 유계 수열에 대해 컴팩턴스를 보장한다.
• 제시된 대칭성과 성장 조건 하에서 기하학적으로 다른 무한히 많은 임계점이 존재함을 증명한다.
• 모든 k≥1에 대해, 에너지 함수가 큰 구 외부에서 음이 되는 k차원 부분공간이 존재하며, 이는 산맥 기하학을 만족한다.
• 이 증명은 0≤a<(n−p)/p 이며 c>0 인 특이 케이스에 대해 성립하며, 이는 이전에 비특이 케이스(a=0)에 국한된 결과를 확장한다.
• f(u)의 무한대에서의 점점 선형적인 성장은 Ambrosetti-Rabinowitz 조건의 사용을 어렵게 하지만, 이는 Cerami 조건에 의해 극복된다.
• 유계성 증명의 반증은 f(t)의 성장과 약한 극한의 지지부분에서의 가중 L^p 노름의 발산에 기반한다.