[논문 리뷰] Multiple Source Dual Fault Tolerant BFS Trees

Manoj Gupta, Shahbaz Khan|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 23.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 방향 그래프에서 최대 두 개의 동시 엣지 장애가 발생할 경우에도 최단경로 복구가 가능한 다중 소스 이중 장애내성 BFS 트리를 구성하기 위한 새로운 알고리즘을 제안한다. 각 장애 집합을 회피하는 선호 경로를 동적으로 선택하고, 점진적으로 백업 구조를 구축함으로써, 최소한의 엣지 추가 오버헤드로 최단경로 내성 보장을 달성하며, 모든 2-엣지 장애 조합에 대해 완전한 장애내성을 확보한다.

ABSTRACT

Let $G=(V,E)$ be a graph with $n$ vertices and $m$ edges, with a designated set of $σ$ sources $S\subseteq V$. The fault tolerant subgraph for any graph problem maintains a sparse subgraph $H$ of $G$, such that for any set $F$ of $k$ failures, the solution for the graph problem on $G\setminus F$ is maintained in $H\setminus F$. We address the problem of maintaining a fault tolerant subgraph for Breath First Search tree (BFS) of the graph from a single source $s\in V$ (referred as $k$ FT-BFS) or multiple sources $S\subseteq V$ (referred as $k$ FT-MBFS). The problem of $k$ FT-BFS was first studied by Parter and Peleg [ESA13]. They designed an algorithm to compute FT-BFS subgraph of size $O(n^{3/2})$. Further, they showed how their algorithm can be easily extended to FT-MBFS requiring $O(σ^{1/2}n^{3/2})$ space. They also presented matching lower bounds for these results. The result was later extended to solve dual FT-BFS by Parter [PODC15] requiring $O(n^{5/3})$ space, again with matching lower bounds. However, their result was limited to only edge failures in undirected graphs and involved very complex analysis. Moreover, their solution doesn't seems to be directly extendible for dual FT-MBFS problem. We present a similar algorithm to solve dual FT-BFS problem with a much simpler analysis. Moreover, our algorithm also works for vertex failures and directed graphs, and can be easily extended to handle dual FT-MBFS problem, matching the lower bound of $O(σ^{1/3}n^{5/3})$ space described by Parter [PODC15].The key difference in our approach is a much simpler classification of path interactions which formed the basis of the analysis by Parter [PODC15]. Our dual FT-MBFS structure also seamlessly gives a dual fault tolerant spanner with additive stretch of +2 having size $O(n^{7/8})$.

연구 동기 및 목표

• 최대 두 개의 동시 엣지 장애가 발생하는 방향 그래프에서 최단경로 연결성을 유지하는 문제에 대응하기 위해.
• 모든 가능한 2-엣지 장애 조합에 대해 과도한 저장소나 사전처리 없이 백업 경로를 사전 계산하는 효율적인 알고리즘을 설계하기 위해.
• 크기가 2 이하인 모든 장애 집합에 대해 전체 장애내성을 달성하기 위해 필요한 추가 엣지 수를 최소화하기 위해.
• 크기가 0, 1 또는 2인 모든 장애 집합 F에 대해, 소스 s에서 각 정점 v로 향하는 최단경로가 F를 회피하는 선호 경로를 통해 항상 가용하도록 보장하기 위해.

제안 방법

• 모든 장애 집합 F (|F| ≤ 2)에 대해, 사전 정의된 순서 π에 따라 정렬된 순서로, F에 포함된 모든 엣지를 회피하는 소스 s에서 정점 v로 향하는 선호 경로 P를 계산한다.
• 경로 P의 마지막 엣지인 LastE(P)가 백업 엣지 집합 H에 이미 포함되어 있는지 확인한다; 만약 포함되어 있지 않다면, P를 F에 대한 대체 경로로 할당하고, LastE(P)를 H에 추가한다.
• 경로 선택은 F를 회피하는 조건 하에 최단경로를 우선시함으로써, 장애 발생 조건 하에서도 경로의 최적성을 보장한다.
• 크기 순으로 증가하고, 사전순으로 정렬된 순서로 모든 장애 집합에 대해 반복함으로써, 일관되고 결정적인 경로 할당을 보장한다.
• 점진적으로 최소한의 엣지 집합 H를 구성함으로써, 모든 2-엣지 장애 시나리오에 대한 장애내성을 확보한다.
• 알고리즘은 증강된 그래프에서 모든 장애 집합 F에 대해 원래 그래프의 엣지와 추가된 집합 H의 엣지만을 사용하는 최단경로가 존재함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최소한의 오버헤드로 방향 그래프에서 가능한 모든 이중 엣지 장애 상황에서도 최단경로를 유지할 수 있는 효율적인 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ2 방향 그래프에서 BFS 트리의 이중 장애내성을 달성하기 위해 필요한 최소 추가 엣지 수는 얼마인가?
• RQ3 크기가 ≤ 2인 모든 장애 집합에 대해 일관성과 최적성을 확보하기 위해 경로 선택을 어떻게系통적으로 정렬할 수 있는가?
• RQ4 각 장애 집합에 대해 경로를 다시 계산하지 않고도 점진적으로 장애내성 구조를 구성할 수 있는가?
• RQ5 그래프의 어떤 구조적 성질이 다중 장애 상황에서 결정적이고 최적의 경로 할당을 가능하게 하는가?

주요 결과

• 알고리즘이 크기가 2 이하인 모든 장애 집합 F에 대해 최단경로를 지원하는 장애내성 BFS 구조를 성공적으로 구성한다.
• 각 새로운 선호 경로의 LastE(P)만을 H에 추가함으로써, 추가로 추가된 엣지의 수가 최소화된다.
• 모든 장애 집합 F에 대해, 할당된 선호 경로 P를 통해 s에서 v로 향하는 유효한 최단경로가 항상 가용하다.
• 알고리즘은 장애 집합에 대해 결정적이고 순서화된 방식으로 작동하여 일관된 경로 할당을 보장하고 중복을 방지한다.
• 최적의 엣지 보강을 통해 전체 장애내성을 보장하며, 모든 2-엣지 장애 상황에서 경로 최적성을 유지한다.
• 실행 과정이 효율적이고 확장 가능하며, 장애 집합을 순서대로 처리하고 필요할 경우에만 엣지를 추가함으로써 구성 과정이 효율적이다.