[논문 리뷰] Multiplicative functions in short intervals II

Kaisa Matomäki, Maksym Radziwiłł|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 08.

Analytic Number Theory Research인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 짧은 간격에서 곱셈 함수의 에너지 절약형 오차 한계를 수립하며, 기저 곱셈 집합의 자연 밀도의 역수보다 짧은 간격 길이일지라도 평균이 일반적으로 장기 평균과 가까운 것으로 증명한다. 주요 기여는 모든 h₀ ≥ 2에서 유효하고 함수의 소수에서의 행동과 무관하게, 예외 집합에 대해 ≪X h₀^(-δκ) 형태의 균일한 에너지 절약형 경계를 제공하는 것이다. 이는 두 제곱수의 합, 수체에서의 노름 형식, 그리고 매끄러운 수에 응용된다.

ABSTRACT

We determine the behavior of multiplicative functions vanishing at a positive proportion of prime numbers in almost all short intervals. Furthermore we quantify "almost all" with uniform power-saving upper bounds, that is, we save a power of the suitably normalized length of the interval regardless of how long or short the interval is. Such power-saving bounds are new even in the special case of the M\"obius function. These general results are motivated by several applications. First, we strengthen work of Hooley on sums of two squares by establishing an asymptotic for the number of integers that are sums of two squares in almost all short intervals. Previously only the order of magnitude was known. Secondly, we extend this result to general norm forms of an arbitrary number field $K$ (sums of two squares are norm-forms of $\mathbb{Q}(i)$). Thirdly, Hooley determined the order of magnitude of the sum of $(s_{n + 1} - s_{n})^{\gamma}$ with $\gamma \in (1, 5/3)$ where $s_{1} < s_2 < \ldots$ denote integers representable as sums of two squares. We establish a similar results with $\gamma \in (1, 3/2)$ and $s_n$ the sequence of integers representable as norm-forms of an arbitrary number field $K$. This is the first such result for a number field of degree greater than two. Assuming the Riemann Hypothesis for all Hecke $L$-functions we also show that $\gamma \in (1,2)$ is admissible. Fourthly, we improve on a recent result of Heath-Brown about gaps between $x^{\varepsilon}$-smooth numbers. More generally, we obtain results about gaps between multiplicative sequences. Finally our result is useful in other contexts aswell, for instance in our forthcoming work on Fourier uniformity (joint with Terence Tao, Joni Terav\"ainen and Tamar Ziegler).

연구 동기 및 목표

• 곱셈 집합의 자연 밀도의 역수 비례하는 간격 길이를 가진 짧은 평균에 대해, 곱셈 함수의 균일한 에너지 절약형 오차 경계를 수립하는 것.
• 모비우스 함수와 두 제곱수의 합에 관한 이전 결과를 일반 곱셈 함수와 임의의 수체로 확장하는 것.
• 짧은 평균이 장기 평균에서 벗어나는 간격의 예외 집합을 정량화하여, 함수의 점별 크기와 무관한 에너지 절약형 경계를 달성하는 것.
• 일반 이론을 적용하여 매끄러운 수의 간격 및 수체에서의 노름 형식에 대한 새로운 점근적 및 크기 순서 결과를 도출하는 것.
• 향후 연구에서 푸리에 균일성과 같은 더 넓은 문제에 적용 가능한 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 희소 딜리클레 다항식에 대한 평균값 정리를 개발하며, L² 노름을 짧은 간격에서 곱셈 함수의 크기를 제어하기 위해 할라슈 유형 추정을 활용한다.
• 디리클레 다항식을 이진 간격으로 분해하고 파르세발 유형 경계를 적용하여 L² 모멘트를 제어한다.
• 체적 추정과 모멘트 계산을 사용하여 짧은 평균의 분산을 제어하며, 특히 비트리비얼한 상쇄 효과가 존재할 경우에 유의미하다.
• 코사인 함수의 로그 p 곱하기 주파수 항을 다루기 위해 새로운 부등식(보조정리 A.1)을 활용하며, 등분포성 및 재배열 추론을 사용한다.
• 고전적 및 현대적 기법의 하이브리드를 사용하여 곱셈 수론의 다양한 도구를 통합한다. 이는 영역의 비영역과 등분포성에 대한 에르되시-투라니 부등식 포함.
• 고전적 및 현대적 기법의 하이브리드를 사용하여 곱셈 수론의 다양한 도구를 통합한다. 이는 영역의 비영역과 등분포성에 대한 에르되시-투라니 부등식 포함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 함수가 소수의 양의 비율에서 0이 되더라도, 간격 길이에 대해 균일하게 에너지 절약형 오차 경계를 확보할 수 있는가?
• RQ2 두 제곱수의 합과 매끄러운 수에 관한 결과는 두 제곱 이상의 차수를 가진 임의의 수체에서의 노름 형식으로 얼마나 일반화될 수 있는가?
• RQ3 다항식 집합에 의해 정의된 수열에 대해, 간격 합 (n_{i+1} - n_i)^γ 의 지수 범위 γ 를 이전에 알려진 이차 수체의 범위를 초월해 개선할 수 있는가?
• RQ4 짧은 평균이 장기 평균에서 크게 벗어나는 간격의 예외 집합의 최적 크기는 무엇인가?
• RQ5 복소수 값을 가진 곱셈 함수나 점별 크기가 1 이하인 함수로 이 이론을 어떻게 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 곱셈 함수 f: ℕ → [−1, 1]가 소수의 양의 비율에서 0이 되는 경우, 길이 ≍ δ(N;X)⁻¹ 인 간격에서의 짧은 평균은 X에서 2X까지의 모든 x 중 ≪X h₀^(-δκ) 개를 제외한 나머지에 대해 장기 평균과 δ 이내에 있다. 여기서 κ = κ(α) > 0 는 밀도 α 에 따라 달라진다.
• δ ≥ (log h₀)^(-1/300) 인 경우, 예외 집합 크기는 ≪X (h₀^(-δ/15) + X^(-δ⁴/¹⁰¹⁶)) 로 유계화되며, 이는 이전 결과에서 h₀ ≤ log^ν X 를 요구했던 것보다 개선된 것이다.
• 수체 K의 노름 형식으로 표현 가능한 정수 수열에 대해, n_i ≤ X 인 범위에서 (n_{i+1} - n_i)^γ 의 합은 모든 γ ∈ [1, 3/2) 에 대해 ≍ X δ_K(X)^{1−γ} 이다. 이는 히스-브라운의 매끄러운 수 결과를 향상시킨다.
• 결과는 매끄러운 수로도 확장된다: [X,2X] 내에서 x^θ-매끄러운 수가 없는 간격 (x, x+h] 의 수는 ≪ε,θ X h₀^(-1/2+ε) 이며, 이는 이전의 경계를 향상시킨다.
• 모든 헤크 L-함수에 대한 리만 가설을 가정할 경우, 간격 합의 지수 범위는 γ ∈ (1,2) 로 확장되며, 모든 수체에 대해 균일하게 성립한다.
• 이 방법은 L² 평균값에서 진동 항을 제어하는 데 핵심적인 새로운 부등식(보조정리 A.1)을 도출한다. 이는 |f(p)|(1 - |cos(π t log p / 2π)|) 의 합을 제어한다.