[논문 리뷰] Multiplicative noise in Bayesian inverse problems: Well-posedness and consistency of MAP estimators

Matthew M. Dunlop|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 31.

Markov Chains and Monte Carlo Methods참고 문헌 21인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 순수 다중성 및 혼합 가감성-다중성 모델을 포함한 다중성 노이즈가 있는 베이지안 역문제에서 최대사후확률(MAP) 추정기의 잘 정의됨과 일致성을 확립한다. 데이터 편향에 대한 사후분포의 연속성을 증명하고, 가우시안 사전분포와 노이즈를 가정할 때 소음이 적은 극한에서 MAP 추정기의 일致성을 보여주며, 가감성 노이즈가 정규화 역할을 하여 전방 맵에 대한 요구 조건을 완화시킨다.

ABSTRACT

Multiplicative noise arises in inverse problems when, for example, uncertainty on measurements is proportional to the size of the measurement itself. The likelihood that arises is hence more complicated than that from additive noise. We consider two multiplicative noise models: purely multiplicative noise, and a mixture of multiplicative noise and additive noise. Adopting a Bayesian approach, we provide conditions for the resulting posterior distributions on Banach space to be continuous with respect to perturbations in the data; the inclusion of additive noise in addition to multiplicative noise acts as a form of regularization, allowing for milder conditions on the forward map. Additionally, we show that MAP estimators exist for both the purely multiplicative and mixed noise models when a Gaussian prior is employed, and for the latter prove that they are consistent in the small noise limit when all noise is Gaussian.

연구 동기 및 목표

• 다중성 노이즈가 있는 베이지안 역문제의 잘 정의됨을 확립하여, 사후분포가 관측 데이터의 편향에 대해 연속적이게 한다.
• 순수 다중성 및 혼합 가감성-다중성 노이즈 모델 하에서 MAP 추정기의 존재성과 일치성을 분석한다.
• 가감성 노이즈의 포함이 전방 연산자에 대한 요구 조건을 완화시켜 문제의 정규화를 가능하게 한다.
• 기존 문헌에서 다루기가 부족한 다중성 노이즈 모델로 기능 공간 베이지안 분석을 확장한다.
• 특히 영상 및 지하층 응용 분야에서 다중성 노이즈가 존재하는 역문제에서 MAP 추정기를 사용하는 데 이론적 근거를 제공한다.

제안 방법

• 바나흐 공간에서의 베이지안 프레임워크를 사용하여 다중성 노이즈가 있는 역문제에서의 불확실성을 모델링한다.
• 두 가지 모델을 분석한다: 순수 다중성 노이즈(y = ηₘG(u)) 및 혼합 가감성-다중성 노이즈(y = ηₘG(u) + ηₐ).
• 모든 모델에서 MAP 추정기의 존재성을 보장하기 위해 가우시안 사전분포를 사용한다.
• 변분 방법을 적용하여 MAP 추정기를 음의 로그우도와 정규화의 합의 최소화자로 유도한다.
• 특히 가감성 노이즈가 정규화 역할을 하므로, 전방 맵과 노이즈 분포에 대한 조건을 통해 사후분포의 연속성을 확립한다.
• 유한차원 근사와 노름 등가성을 사용하여 사후분포의 모멘트를 유계화하고, 소음이 적은 극한에서의 일치성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중성 노이즈가 있는 베이지안 역문제에서 사후분포가 관측 데이터의 편향에 대해 어떤 조건 하에서 연속적인가?
• RQ2 가우시안 사전분포를 사용할 때 순수 다중성 및 혼합 가감성-다중성 노이즈 모델에서 MAP 추정기가 존재하는가?
• RQ3 가감성 노이즈의 포함은 다중성 노이즈가 있는 역문제의 정규성과 잘 정의됨에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 가우시안 가정 하에서 혼합 노이즈 모델의 소음이 적은 극한에서 MAP 추정기는 일치하는가?
• RQ5 가감성 노이즈 모델에 대한 이론적 프레임워크는 다중성 노이즈의 더 복잡한 우도 구조를 다룰 수 있도록 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 적은 조건 하에서도 특히 가감성 노이즈가 존재할 경우 사후분포가 데이터 편향에 대해 연속적이다. 가감성 노이즈는 정규화 역할을 한다.
• 가우시안 사전분포를 사용할 때 순수 다중성 및 혼합 노이즈 모델 모두에서 MAP 추정기가 존재한다.
• 혼합 노이즈 모델의 경우, 적절한 정규성 조건 하에서 소음이 적은 극한에서 MAP 추정기는 진짜 상태로 수렴한다.
• 가감성 노이즈의 존재는 전방 연산자 G에 대한 더 약한 가정을 가능하게 하여 분석의 강건성을 향상시킨다.
• 노름 등가성과 가우시안 랜덤 변수의 성질을 이용하여 사후분포의 모멘트 유계를 확립하고, 수렴 증명을 가능하게 하였다.
• 이론적 프레임워크는 다중성 노이즈가 흔한 영상 복원 및 지하층 영상과 같은 실용적 응용에서 MAP 추정의 사용을 지지한다.