[논문 리뷰] Multiplicative structure on the Hochschild cohomology of crossed product algebras

Rina Anno|ArXiv.org|2005. 11. 15.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 8인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 유한군 $G$ 가 체 $\mathbf{k}$ 상의 매끄럽고 아핀 대용량 $X$ 에 작용하는 조건에서, 교차곱 대수 $\mathbb{k}[G] \ltimes \mathbb{k}[X]$ 의 호흐실트 코hom로지에 명시적인 곱 구조를 수립한다. 이때 체의 특성은 $\dim X$ 와 $|G|$ 보다 크다. 핵심 결과는 $G$-불변 부분다양체 위의 다중벡터장과 정규다중체를 이용한 코homology의 컵 곱 공식으로, 호흐실트-코스타ント-로젠버그 동형사상이 군 작용에 대한 등변 설정으로 일반화된 것이다.

ABSTRACT

Consider a smooth affine algebraic variety $X$ over an algebraically closed field, and let a finite group $G$ act on it. We assume that the characteristic of the field is greater than the dimension of $X$ and the order of $G$. An explicit formula for multiplication on the Hochschild cohomology of a crossed product of $k[G]$ and $k[X]$ is given in terms of multivector fields on $X$ and $g$-invariant subvarieties of $X$ for $g\in G$.

연구 동기 및 목표

• 교차곱 대수 $\mathbb{k}[G] \ltimes \mathbb{k}[X]$ 의 경우에 대해 호흐실트-코스타ント-로젠버그 동형사상의 일반화를 시도한다.
• 다양체 $X$ 의 기하학적 자료를 통해 $HH^*(\mathbb{k}[G] \ltimes \mathbb{k}[X])$ 의 컵 곱 구조를 명시적으로 기술한다.
• 이전의 심플렉틱 작용 결과를 더 넓은 범위의 매끄럽고 아핀 다양체에 대한 유한군 작용으로 일반화한다.
• 군 작용의 대칭성과 고정점 부분다양체를 포함하는 호흐실트 코호모로지의 곱셈 공식을 제공한다.

제안 방법

• 코호모로지가 $G$-불변 이중모듈러 코호모로지와 관련됨을 보여주기 위해 등식 $HH^i(B) \cong \left(\bigoplus_{g \in G, m} H^i(A, A_g)\right)^G$ 를 사용한다.
• 코호모로지 수준으로 내림내림되는 사상 $\mu: C^i(A,B) \otimes C^j(A,B) \to C^{i+j}(A,B)$ 를 정의하며, $\mu(\phi g \otimes \psi h) = \phi(a_1,\dots,a_i) \cdot \psi^g(a_{i+1},\dots,a_{i+j})gh$ 로 주어진다.
• 군의 고정점의 형식적 이웃을 이용한 국소 모델을 구성하며, 이는 레마 5에 의해 작용이 선혠회로 환원되어 선형 경우로 문제를 축소한다.
• 형식적 이웃에서 호흐실트-코스타ント-로젠버그 동형사상을 적용하고, 레마 4를 사용해 형식적 이웃에서의 동형사상을 전역 층 동형사상으로 올린다.
• $HH^*(B)$ 에서의 곱을 제약과 대칭화를 통해 정의한다: $\pi^u$ 는 다중벡터에 작용하며, 곱은 $X^g_m \cap X^h_n \supset X^u_k$ 에서의 외적과 함께 주어진다. 이때 부호 인자 $(-1)^{d_{g,m}(j - d_{h,n})}$ 가 포함된다.
• $TX|_{X^g_m} \cong T X^g_m \oplus N_X X^g_m$ 의 분해를 통해 접선과 정규 성분을 분리하고, 코호모로지 군을 $\Gamma(X^g_m, \Lambda^{i-d_{g,m}} T X^g_m \otimes \Lambda^{d_{g,m}} N_X X^g_m)^G$ 로 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 군 작용 하에서 다양체 $X$ 의 기하학적 불변량을 통해 교차곱 대수 $\mathbb{k}[G] \ltimes \mathbb{k}[X]$ 의 호흐실트 코호모로지가 어떻게 기술될 수 있는가?
• RQ2 다양체 $X$ 가 매끄럽고 $\mathrm{char}(\mathbf{k}) > \dim X, |G|$ 일 때, $HH^*(\mathbb{k}[G] \ltimes \mathbb{k}[X])$ 의 컵 곱에 대한 명시적 공식은 무엇인가?
• RQ3 고정점 부분다양체 $X^g_m$ 에 제한되었을 때 호흐실트 코호모로지의 곱 구조는 어떻게 행동하는가?
• RQ4 심플렉틱 경우에서 곱 구조는 어떻게 단순화되며, 심플렉틱 형식은 정규다중체 항목을 어떻게 줄이는가?
• RQ5 전역 곱 구조는 $G$-고정점의 형식적 이웃에서의 국소 자료로부터 재구성될 수 있는가?

주요 결과

• 교차곱 대수 $B = \mathbb{k}[G] \ltimes \mathbb{k}[X]$ 의 호흐실트 코호모로지 $HH^i(B)$ 는 그라디에이션 벡터 공간으로서 $\bigoplus_{g \in G, m} \Gamma(X^g_m, \Lambda^{i - d_{g,m}} T X^g_m \otimes \Lambda^{d_{g,m}} N_X X^g_m)^G$ 와 동형이다. 여기서 $d_{g,m} = \mathrm{codim}\, X^g_m$ 이다.
• HH^*(B) 의 컵 곱은 $u \in G$ 와 $X^u_k \subset X^g_m \cap X^h_n$ 의 성분들에 대한 합으로 주어지며, 코호모로지 클래스의 접선 및 정규 성분에 대한 $\pi^u$-대칭화된 외적을 포함한다.
• 공식은 코호모로지의 등급과 방향성에 기인한 부호 인자 $(-1)^{d_{g,m}(j - d_{h,n})}$ 를 포함한다.
• 심플렉틱 경우에서 정규다중체 항목 $\Lambda^{d_{g,m}} N_X X^g_m$ 는 심플렉틱 형식을 통해 자명화되며, 코호모로지가 $\bigoplus_{g \in G, m} \Gamma(X^g_m, \Lambda^{i - d_{g,m}} T X^g_m)^G$ 로 단순화된다. 곱은 $\pi^u(\alpha_{g,m}|_{X^u_k} \wedge \gamma_{h,n}|_{X^u_k})$ 로 주어진다.
• 군 작용이 자명한 경우 $g = 1$ 에서 호흐실트-코스타ント-로젠버그 동형사상과 호환되며, 다중벡터장 위의 표준 외적을 복원한다.
• 전역 곱 구조는 $G$-고정점의 형식적 이웃에서의 국소 구조에 의해 결정되며, 형식적 이웃에서의 레마 4와 군 작용의 선형화에 대한 레마 5를 통해 동형사상이 수립된다.