[논문 리뷰] Multiplicity and stability of the Pohozaev obstruction for Hardy-Schr\\"odinger equations with boundary singularity

Nassif Ghoussoub, Saikat Mazumdar외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 29.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 30인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 0에서 경계 특이성을 가진 하디-슈뢰딩거 방정식에 대해 푸호자프 장애물의 다중성과 안정성을 확립한다. 하향 에너지 해에 대한 정밀한 폭발 분석을 통해, $\gamma < \frac{n^2}{4} - 1$ 이고, 0에서의 주곡률가 음이거나 0이 아니면 무한히 많은 부호가 바뀌는 해가 존재함을 증명한다. 또한, $\Omega$가 별형이고 $h$가 작을 때, $C^1$-편미분에 의한 $h$의 변화에 대해 양의 해가 존재하지 않음을 보이며, 이는 고전적인 푸호자프 조건을 초월한다.

ABSTRACT

Let $\\Omega$ be a smooth bounded domain in $\\mathbb{R}^n$ ($n\\geq 3$) such that $0\\in\\partial \\Omega$. In this memoir, we consider issues of non-existence, existence, and multiplicity of variational solutions in $H_{1,0}^2(\\Omega)$ for the borderline Dirichlet problem, $-\\Delta u-\\gamma \\frac{u}{|x|^2}- h(x) u = \\frac{|u|^{{2^\\star(s)}-2}u}{|x|^s}$ in $\\Omega$, where $0&lt;s&lt;2$, ${{2^\\star(s)}}:=\\frac{2(n-s)}{n-2}$, $\\gamma\\in\\mathbb{R}$ and $h\\in C^0(\\overline{\\Omega})$. We use sharp blow-up analysis on --possibly high energy-- solutions of corresponding subcritical problems to establish, for example, that if $\\gamma&lt;\\frac{n^2}{4}-1$ and the principal curvatures of $\\partial\\Omega$ at $0$ are non-positive but not all of them vanishing, then the above equation has an infinite number of (possibly sign-changing) solutions in ${H_{1,0}^2(\\Omega)}$. This complements results of the first and third authors, who had previously shown that if $\\gamma\\leq \\frac{n^2}{4}-\\frac{1}{4}$ and the mean curvature of $\\partial\\Omega$ at $0$ is negative, then the equation has a positive solution. On the other hand, the sharp blow-up analysis also allows us to prove that if the mean curvature at $0$ is non-zero and if the mass (when defined) does not vanish, then there is a surprising stability under $C^1$-perturbations of the potential $h$ of those regimes where no variational positive solutions exist. In particular, and in sharp contrast with the non-singular case (i.e., when $\\gamma=s=0$), we show non-existence of such solutions for (E) in any dimension, whenever $\\Omega$ is star-shaped and $h$ is close to $0$, which include situations not covered by the classical Pohozaev obstruction.

연구 동기 및 목표

• 0에서 경계 특이성을 가진临계 하디-슈뢰딩거 방정식에 대한 변분 해의 존재성, 비존재성, 다중성을 조사한다.
• 방정식의 잠재력 $h$에 대한 $C^1$-편미분에 의한 푸호자프 장애물의 안정성을 이해한다.
• 기하학적 및 스펙트럼 조건에 따라 $\gamma$와 경계 곡률에 대해 무한히 많은 고에너지, 가능성이 있는 부호가 바뀌는 해의 존재를 확립함으로써 이전의 최소 에너지 해 결과를 확장한다.
• 고에너지 해를 다루기 위해 하향 근사에 대한 정밀한 폭발 분석 프레임워크를 개발하고, 정확한 점근적 행동을 유도한다.

제안 방법

• 临계 방정식의 하향 근사 해에 대한 정밀한 폭발 분석을 통해 특이점 0 근처의 정확한 점근적 프로파일을 도출한다.
• 스케일링 보조정리와 폭발 스케일을 구성하여 고에너지 해의 가능한 모든 집중 영역을 고갈한다.
• 강한 점별 추정과 컴actness 정리를 활용하여 경계와 원점 근처 해의 행동을 제어한다.
• 지역화된 푸호자프 항등식을 적용하여, 다양한 스케일링 영역에서 $L^{2^\star(s)}$ 및 $L^2$ 항, 곡률 기여, 경계 항을 추정한다.
• 0과 무한대에서 특정 점근적 행동을 가지는 그린 함수의 존재성과 유일성을 확립하여, 연산자의 강제성 분석에 핵심적인 역할을 한다.
• 켈빈 변환과 강제성 추론을 적용하여 점별 감쇠 및 증가 추정을 도출하고, 그린 함수 $\mathcal{G}_p$의 존재성과 유일성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기하학적 및 스펙트럼 조건이 무엇일 때, 0에서 경계 특이성을 가진 하디-슈뢰딩거 방정식이 $H_{1,0}^2(\Omega)$ 내에서 무한히 많은 고에너지, 부호가 바뀌는 해를 가질 수 있는가?
• RQ2 영역이 별형이고 $h$가 작을 때, 잠재력 $h$의 $C^1$-편미분에 대해 고전적인 푸호자프 조건을 초월하여도, 고전적인 푸호자프 장애물이 안정화될 수 있는가?
• RQ3 만일 $\gamma < \frac{n^2}{4} - 1$ 이면, 경계 특이점 근처에서 해와 그린 함수의 정확한 점근적 행동은 무엇인가?
• RQ4 0에서 평균 곡률과 질량이 0이 아닐 때, $h$의 소규모 편미분에 대해 양의 해의 존재 또는 비존재는 어떻게 영향을 받는가?
• RQ5 차이 $\beta_+(\gamma) - \beta_-(\gamma)$는 폭발 속도와 해의 컴팩턴스를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 만일 $\gamma < \frac{n^2}{4} - 1$ 이고, $\partial\Omega$의 0에서 주곡률가 음이거나 0이 아니면, $H_{1,0}^2(\Omega)$ 내에서 무한히 많은 고에너지, 가능성이 있는 부호가 바뀌는 해가 존재한다.
• 만일 $\gamma \leq \frac{n^2}{4} - \frac{1}{4ray}$ 이고, 0에서 평균 곡률가 음이면, 방정식은 최소 에너지 양의 해를 가지며, 이는 이전 결과를 확장한다.
• 0에서 평균 곡률가 0이 아니고 질량도 0이 아니면, $h$의 $C^1$-편미분에 대해 양의 해의 비존재 영역은 안정적이며, 고전적인 푸호자프 조건을 초월한다.
• 별형 영역과 충분히 0에 가까운 $h$에 대해, 양의 변분 해는 존재하지 않으며, 이는 고전적인 푸호자프 장애물을 초월하는 놀라운 비존재 결과를 보여준다.
• $\mathbb{R}_-^n$에서 연산자 $-\Delta - \frac{\gamma}{|x|^2}$에 대한 그린 함수 $\mathcal{G}_p$는 존재하며, $|x_1||x|^{-\beta_-(\gamma)}$의 상수배를 제외하고 유일하고, 0과 무한대에서 정확한 점근적 행동을 만족한다.
• 해의 폭발 속도는 지수 $\beta_+(\gamma)$와 $\beta_-(\gamma)$에 의해 정밀하게 특징지어지며, $\beta_+(\gamma) - \beta_-(\gamma) = 1$ 이면 다른 경우와는 다른 행동을 보이며, 이는 컴팩턴스 및 존재성 결과를 이끈다.