[논문 리뷰] Multiplicity and uniform estimate for a class of variable order fractional $p(x)$-Laplacian problems with concave-convex nonlinearities

Reshmi Biswas, Sweta Tiwari|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 30.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 10인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 볼테르-컨벡스 비선형성과 비국소 콘차르 유형 항을 포함하는 변수 순서 분수 $p(x)$-라플라시안 문제에 대한 해의 존재성과 다중성을 확립한다. 변수 지수 하디-소볼레프-리틀우드 부등식을 개발하고 변분 방법을 적용하여, 지수와 비선형성에 대한 적절한 조건 하에서 최소한 두 개의 비자명한 약한 해가 존재함을 증명한다.

ABSTRACT

In this article, we study the existence/multiplicity results for the following variable order nonlocal Choquard problem with variable exponents \begin{equation*} \begin{array}{rl} (-Δ)_{p(\cdot)}^{s(\cdot)}u(x)&=λ|u(x)|^{α(x)-2}u(x)+\left(\DD\int_Ω\frac{F(y,u(y))}{|x-y|^{μ(x,y)}}dy ight)f(x,u(x)),\\ &~\hspace{6cm} x\in Ω, \\ u(x)&=0 ,\hspace{20mm} x\in Ω^c:=\mathbb R^N\setminusΩ, \end{array} \end{equation*} where $\Om\subset\mathbb R^N$ is a smooth and bounded domain, $N\geq 2$, $p,s,μ$ and $α$ are continuous functions on $\mathbb R^N imes\mathbb R^N$ and $f(x,t)$ is continuous function with $F(x,t):=\displaystyle\int_{0}^{t} f(x,s)ds$. Under suitable assumption on $s,p,μ,α$ and $f(x,t)$, first we study the analogous Hardy-Sobolev-Littlewood-type result for variable exponents suitable for the fractional Sobolev space with variable order and variable exponents. Then we give the existence/multiplicity results for the above equation.

연구 동기 및 목표

• 변수 순서 분수 $p(x)$-라플라시안 방정식에 대한 약한 해의 존재성과 다중성을 조사한다.
• 분수 소볼레프 공간에 적합한 변수 순서 및 변수 지수 하드이-소볼레프-리틀우드 부등식의 버전을 수립한다.
• 해의 다중성에 영향을 미치는 변수 지수 $p(x), s(x), \mu(x,y)$ 및 비선형성 $f(x,u)$ 간의 상호작용을 분석한다.
• 비국소 문제에 대해 변수 순서 연산자와 비표준 성장 조건을 고려한 변분 방법을 확장한다.
• 최소한 두 개의 비자명한 약한 해가 존재하도록 보장하는 함수 $p, s, \mu, \alpha$, 및 $f$에 대한 충분한 조건을 제공한다.

제안 방법

• 변수 지수 및 변수 순서 분수 연산자에 대해 일반화된 하드이-소볼레프-리틀우드 유형 부등식을 유도한다.
• 적절한 변수 지수 분수 소볼레프 공간 내 비국소 콘차르 유형 방정식과 관련된 에너지 함수를 정의한다.
• 산맥 정리와 에클랜드의 변분 원리를 적용하여 최소한 하나의 비자명한 약한 해의 존재성을 확보한다.
• 네하리 만델 방법을 사용하여 에너지 함수의 구조를 분석하고 다중 해의 존재성을 증명한다.
• 콤���턴스 추론과 변수 지수 공간 내 소볼레프 포함을 활용하여 펠라이스-스모스 조건을 확보한다.
• 비선형성이 임계점 이론을 적용하기 위해 필요한 성장 및 연속성 조건을 만족함을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형성 $f(x,u)$에 대한 $p(x), s(x), \mu(x,y), \alpha(x)$의 어떤 조건에서 비국소 콘차르 항을 포함하는 변수 순서 $p(x)$-라플라시안 문제에서 최소한 하나의 약한 해가 존재하는가?
• RQ2 적절한 구조적 가정 하에 이 클래스의 변수 지수 및 변수 순서 문제에서 다중 약한 해를 보장할 수 있는가?
• RQ3 하드이-소볼레프-리틀우드 부등식은 변수 순서 및 변수 지수 분수 적분 설정으로 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ4 변수 지수와 비국소 적분 항은 관련 에너지 함수의 콤팩턴스성과 기하학적 성질에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 볼테르-컨벡스 비선형성은 이 비국소적이고 비표준 성장 프레임워크 내에서 해의 다중성에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 해당 분수 소볼레프 공간 프레임워크 내 분석을 가능하게 하는 새로운 변수 순서 및 변수 지수 하드이-소볼레프-리틀우드 부등식이 수립되었다.
• 적절한 성장 및 강제 조건 하에서 산맥 정리를 사용하여 최소한 하나의 비자명한 약한 해의 존재성이 증명되었다.
• 네하리 만델 방법과 에너지 함수의 기하학적 성질을 활용하여 최소한 두 개의 비자명한 약한 해의 존재성이 입증되었다.
• 유도된 부등식 하에서 비국소 콘차르 유형 항이 변수 지수 분수 소볼레프 공간 내에서 잘 정의되고 연속적임이 입증되었다.
• 문제와 관련된 함수가 지정된 공간에서 펠라이스-스모스 조건을 만족함을 보였다. 이는 펠라이스-스모스 수열의 수렴성을 보장한다.
• 결과는 $N \geq 2$ 인 매끄럽고 유계인 도메인 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ 에서도 성립하며, 변수 지수에 대한 연속성 및 유계성 가정 하에 성립한다.