[논문 리뷰] Multiplicity of negative-energy solutions for singular-superlinear Schrödinger equations with indefinite-sign potential

Carlos Alberto Santos, Ricardo Alves Lima외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 08.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 18인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 $ℝ^N$에서 부호가 변화하는 잠재력과 함께 특이-초선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 변분 방법과 네하리 만치 기법을 사용하여 다수의 양해를 존재함을 증명한다. 에너지 함수의 미분 가능성에 결함이 있고 네하리 집합 내 경계의 교차가 비어 있지 않은 상황에도 불구하고, 저자들은 서로 겹치지 않는 경계 집합을 구성하고 이를 통해 에너지를 최소화하여 극한 매개변수 값 $ˇ{\lambda}$를 초월한 음의 에너지 해의 다중성을 증명한다. 이는 이전 결과를 부호가 변화하는 비선형성과 유계가 아닌 도메인으로 확장한다.

ABSTRACT

We are concerned with the multiplicity of positive solutions for the singular superlinear and subcritical Schrödinger equation $$ \begin{array}{c} -Δu +V(x)u=λa(x)u^{-γ}+b(x)u^{p}~\mbox{in}~ \mathbb{R}^{N}, \end{array} $$ beyond the Nehari extremal value, as defined in Il'yasov [Topol. Methods Nonlinear Anal., 2017], when the potential $b \in L^{\infty}(\mathbb{R}^{N})$ may change its sign, $00$ is a real parameter. The main difficulties come from the non-differentiability of the energy functional and the fact that the intersection of the boundaries of the connected components of the Nehari set is non empty. We overcome these difficulties by exploring topological structures of that boundary to build non-empty sets whose boundaries have empty intersection and minimizing over them by controlling the energy level.

연구 동기 및 목표

• 특이-초선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 $ℝ^N$에서 부호가 변화하는 잠재력이 있는 다수의 양해의 존재를 증명한다.
• 네하리 집합 내 경계의 교차가 비어 있지 않은 상황에서 에너지 함수의 비미분 가능성 문제를 다룬다.
• 비유계 도메인 설정에서 네하리 만치를 통해 정의된 극한 매개변수 값 $ˇ{\lambda}$를 초월한 다중성 결과를 확장한다.
• 에너지 수준 $˜{J}^{-}_{ˇ{\lambda}} = 0$이 극한 매개변수에서 성립함을 증명하여 다중성 임계값의 날카로움을 보장한다.

제안 방법

• 에너지 함수의 임계점을 분석하기 위해 변분 방법과 네하리 만치 프레임워크를 사용한다.
• 네하리 집합 내 경계 교차 문제를 해결하기 위해 서로 겹치지 않는 경계를 가진 비어 있지 않은 집합을 구성한다.
• 이 집합들 위에서 최소화 추론을 적용하여 에너지 수준을 제어하고 해의 존재를 보장한다.
• 네하리 집합 경계의 위상적 구조를 활용하여 감소하고 왼쪽 연속적인 에너지 함수 $˜{J}^{-}_{\lambda}$를 정의한다.
• 포호자에이브의 섬세한 방법과 네하리의 고전적 논증을 활용하여 임계 매개변수의 분석을 정밀화한다.
• 산맥 정리와 하부-상부해 기법을 변분적 맥락에서 적용하여 존재성과 다중성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 극한 매개변수 $ˇ{\lambda}$를 초월하여 $ℝ^N$에서 부호가 변화하는 잠재력이 있는 특이-초선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 다수의 양해가 존재함을 증명할 수 있는가?
• RQ2 변분 분석에서 에너지 함수의 비미분 가능성과 네하리 집합 경계 성분의 비어 있지 않은 교차 문제는 어떻게 극복할 수 있는가?
• RQ3 매개변수 $ˇ{\lambda}$는 해의 다중성 임계값을 결정하는 데 어떤 정확한 역할을 하는가?
• RQ4 에너지 수준 $˜{J}^{-}_{ˇ{\lambda}}$는 극한 값에서 0이 되는가? 이는 다중성 결과의 날카로움에 어떤 의미를 갖는가?

주요 결과

• 논문은 $λ < \hat{\lambda}$일 때 적어도 두 개의 양해가 존재함을 증명하며, 이 다중성은 이리야소프가 정의한 고전적 극한 값 이상으로도 유지됨을 보여준다.
• 에너지 수준 $˜{J}^{-}_{ˇ{\lambda}} = 0$이 확립되어 $ˇ{\lambda}$가 다중성의 날카로운 임계값임을 보여준다.
• 저자들은 서로 겹치지 않는 경계를 가진 집합 위에서 최소화 수열을 구성하여 에너지 함수의 하한이 도달되며 $λ < \hat{\lambda}$일 때 엄밀히 음의 값을 가짐을 보장한다.
• 모든 해 $u_\lambda$에 대해 $\lambda^* \geq \lambda$임을 보여주며, 여기서 $\lambda^*$는 관련 고유값 문제의 첫 번째 고유값에서 유도된 임계 매개변수이다.
• 네하리 집합 $\mathcal{N}_\lambda^-$ 내의 해 $w_\lambda$는 $0 < \lambda < \hat{\lambda}$일 때 $\Phi_\lambda(w_\lambda) > 0$임을 확인하여 음의 에너지 해의 존재를 확인한다.
• 에너지 함수 $˜{J}^{-}_{\lambda}$는 $0 < \lambda < \lambda_* + \epsilon$에서 감소하고 왼쪽 연속적이며, 해의 분지에 대한 연속성과 단조성의 지원을 제공한다.