[논문 리뷰] Multiplicity of positive solutions for a fractional Laplacian equations involving critical nonlinearity

Jinguo Zhang, Xiaochun Liu외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 08.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 11인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 변분 방법과 Nehari 다양체 분석을 이용하여 임계 비선형성과 부호가 변화하는 가중함수를 갖는 분수라플라스 방정식에 대해 최소 두 개의 양의 해가 존재함을 증명한다. 충분히 작은 $ \lambda > 0 $ 에 대해 문제는 서로 다른 두 개의 양의 해를 갖는다. 하나는 노름에서 퇴화하고, 다른 하나는 스케일링 행동을 통해 $ \mathbb{R}^N $ 에서의 한계 문제의 기저 상태 해로 집중된다.

ABSTRACT

In this paper we deal with the multiplicity of positive solutions to the fractional Laplacian equation \begin{equation*} (-Δ)^{\fracα{2}} u=λf(x)|u|^{q-2}u+|u|^{2^{*}_α-2}u, \quad ext{in}\,\,Ω, u=0, ext{on}\,\,\partialΩ, \end{equation*} where $Ω\subset \mathbb{R}^{N}(N\geq 2)$ is a bounded domain with smooth boundary, $00$ such that the problem has at least two positive solutions for each $λ\in (0\,,\,λ_{*})$. In addition, the concentration behavior of the solutions are investigated.

연구 동기 및 목표

• 분수라플라스 방정식에 대한 임계 성장과 볼록-오목 비선형성을 갖는 양의 해의 다중성을 조사한다.
• 기존의 표준 라플라스 연산자에 대한 결과를 가중함수가 부호가 변화하는 경우로 분수 설정으로 확장한다.
• 매개수 $ \lambda \to 0 $ 일 때 해의 집중 행동을 분석한다.
• 변분 및 Nehari 다양체 기법을 이용하여 작은 $ \lambda > 0 $ 에 대해 최소 두 개의 양의 해가 존재함을 증명한다.

제안 방법

• 스펙트럼 분해를 이용하여 라플라스 연산자의 분수 소볼레프 공간 $ H^{rac{\beta}{2}}_0(\bar{\theta}) $ 에서 문제를 수립한다.
• Caffarelli-Silvestre 확장을 적용하여 비국소 분수라플라스 연산자를 상반공간 $ \mathcal{C}_\Omega $ 에서의 국소 문제로 변환한다.
• 에너지 함수의 임계점을 식별하기 위해 변분 방법과 Nehari 다양체 분해를 활용한다.
• 해의 점근적 행동을 분석하기 위해 집중-비효율 원리를 적용한다.
• 한계 문제의 기저 상태 해를 스케일링하여 시험 함수를 구성한다.
• 균일한 경계를 확립하고 (PS) 수열 추론을 사용하여 비자명한 해로의 수렴을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임계 비선형성과 부호가 변화하는 가중함수를 갖는 분수라플라스 방정식은 작은 $ \lambda > 0 $ 에 대해 다수의 양의 해를 갖는가?
• RQ2 매개수 $ \lambda \to 0 $ 일 때 해의 점근적 행동은 어떠한가?
• RQ3 비퇴화하는 해의 집중 프로파일은 $ \mathbb{R}^N $ 에서 스케일링된 기저 상태 해의 관점에서 특징지을 수 있는가?
• RQ4 Nehari 다양체 분해가 두 개의 서로 다른 양의 해를 구별하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 부호가 변화하는 가중함수 함수는 해의 다중성에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 모든 $ \lambda \in (0, \lambda_*) $ 에 대해 $ \lambda_* > 0 $ 이 존재하여 문제에 최소 두 개의 양의 해가 존재한다.
• 한 해는 $ \|u_n^{(1)}\|_{H^{rac{\alpha}{2}}_0(\Omega)} \to 0 $ 를 만족하며, $ \lambda_n \to 0 $ 일 때 퇴화 행동을 나타낸다.
• 두 번째 해는 점 $ x_n \in \Omega $ 에 집중하며, $ R_n \to \infty $ 이고, $ \mathbb{R}^N $ 에서의 임계 문제의 스케일링된 기저 상태 해로 수렴한다.
• 집중 프로파일은 $ R_n^{\frac{N-\alpha}{2}} u_0(R_n(x - x_n)) $ 로 주어지며, 여기서 $ u_0 $ 는 $ \mathbb{R}^N $ 에서 $ (-\Delta)^{\frac{\alpha}{2}} u = |u|^{2^*_\alpha - 2} u $ 의 양의 해이다.
• 두 번째 해의 에너지 함수는 분수 소볼레프 포함의 최적 상수인 $ \frac{\alpha}{2N} (\kappa_\alpha S(\alpha,N))^{\frac{N}{\alpha}} $ 로 수렴한다.
• 해의 수열 $ \{w_n^{(2)}\} $ 은 임계 수준에서 (PS) 수열을 이룬다. 적절한 스케일링 하에 그 경계는 스케일링된 기저 상태로 수렴한다.