[논문 리뷰] Multiplicity one for the mod $p$ cohomology of Shimura curves: the tame case

Yongquan Hu, Haoran Wang|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 29.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 7인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 약한 경우에 대해 쇤마 곡선의 mod $p$ 코hom올로지에 대한 다수성 일의성 성질을 확립한다: 소수 $p$ 위의 자리 $v$ 에서 국소 갈루아 표현 $\overline{\rho}$ 가 약한 분할 가능하고 일반적일 때, 관련된 $\mathrm{GL}_2(F_v)$-표현에서 $K_1$-부분공간은 브뤼일과 파슈카누스가 구성한 표현 $D_0(\overline{\rho})$ 와 동형이며, 이는 이 부분공간이 $\overline{\rho}$ 에만 의존하고 전반적 자료에 의존하지 않음을 보여주며 다수성 일의성을 증명한다.

ABSTRACT

Let $F$ be a totally real field, $\mathfrak{p}$ an unramified place of $F$ dividing $p$ and $\overline{r}: \mathrm{Gal}(\overline{F}/F) ightarrow\mathrm{GL}_2(\overline{\mathbb{F}}_p)$ a continuous irreducible modular representation. The work of Buzzard, Diamond and Jarvis associates to $\overline{r}$ an admissible smooth representation of $\mathrm{GL}_2(F_\mathfrak{p})$ on the mod $p$ cohomology of Shimura curves attached to indefinite division algebras which split at $\mathfrak{p}$. When $\overline{r}|_{\mathrm{Gal}(\overline{F_\mathfrak{p}}/F_\mathfrak{p})}$ is tamely ramified and generic (and under some technical assumptions), we determine the subspace of invariants of this representation under the principal congruence subgroup of level $\mathfrak{p}$. In particular, it depends only on $\overline{r}|_{\mathrm{Gal}(\overline{F_\mathfrak{p}}/F_\mathfrak{p})}$ and verifies a multiplicity one property.

연구 동기 및 목표

• шим라 곡선의 mod $p$ 코호몰로지 위의 $\mathrm{GL}_2(F_v)$-표현에서 $K_1$-고정 부분공간의 구조를 규명하는 것.
• 국소 갈루아 표현 $\overline{\rho}$ 가 약한 분할 가능하고 일반적일 경우 이 부분공간에 대한 다수성 일의성 성질을 확립하는 것.
• $\pi^D_v(\overline{r})^{K_1}$ 가 $v$ 에서의 국소 갈루아 표현 $\overline{\rho}$ 에만 의존하고 전반적 자료에 의존하지 않는다는 것을 확인하는 것.
• 코호몰로지적 실현을 통해 가설적인 mod $p$ 국소 랭글랜드 대응에 대한 국소 제약 조건을 제공하는 것.

제안 방법

• 모듈러 표현의 최소 행렬식 패치링 함수자 $M^\min_{\overline{r},\infty}$ 를 사용하여 mod $p$ 코호몰로지 위의 $\mathrm{GL}_2(F_v)$-표현 $\pi^D_v(\overline{r})$ 를 분석한다.
• 보조정리 2.29의 국소 기준을 적용하여 $\Gamma = \mathrm{GL}_2(k_v)$-표현과 $\pi^D_v(\overline{r})^{K_1}$ 사이의 $\mathrm{Hom}$-공간의 차원을 제한한다.
• 약한 관성 유형과 그에 관련된 격자에 대해 브뤼일-파슈카누스의 방법을 이용해 $D_0(\overline{\rho})$ 를 구성한다.
• 세르의 추측의 무게 부분과 $\overline{V(\tau_v)}$ 의 조르당-횔러 구성원의 구조를 이용하여 $\pi^D_v(\overline{r})^{K_1}$ 의 소클을 분석한다.
• [13]의 결과를 활용하여 프로-$p$ 이와하이라 고정 벡터에 대해 문제를 최소 패치링 프레임워크로 환원한다.
• 약한 유형과 그 격자의 이론을 활용하여 $\mathrm{Hom}$-공간과 변형환 위의 코herent sheaf의 구조를 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소 갈루아 표현 $\overline{\rho}$ 가 약한 분할 가능하고 일반적일 경우, 쇤마 곡선의 mod $p$ 코호몰로지 위의 $\mathrm{GL}_2(F_v)$-표현에서 $K_1$-고정 부분공간이 다수성 일의성을 만족하는가?
• RQ2 $\pi^D_v(\overline{r})^{K_1}$ 가 $v$ 에서의 국소 갈루아 표현 $\overline{\rho}$ 에만 의존하여 기술될 수 있는가?
• RQ3 $\pi^D_v(\overline{r})^{K_1}$ 이 브뤼일과 파슈카누스가 구성한 표현 $D_0(\overline{\rho})$ 와 동형인가?
• RQ4 $\pi^D_v(\overline{r})^{K_1}$ 가 그 조르당-횔러 구성원들의 삽입 완비의 직합에 통합되는가?
• RQ5 최소 패치링 함수자 $M^\min_{\overline{r},\infty}$ 는 $\pi^D_v(\overline{r})^{K_1}$ 의 구조를 어떻게 제약하는가?

주요 결과

• $\overline{\rho}$ 가 약한 분할 가능하고 일반적일 경우, $\pi^D_v(\overline{r})^{K_1}$ 는 $\mathrm{GL}_2(\mathcal{O}_{F_v})$-표현으로서 $D_0(\overline{\rho})$ 와 동형이다.
• $\sigma \in \mathscr{D}(\overline{\rho}_v)$ 에 대해 $\mathrm{Hom}_{\Gamma}(V_{\sigma}^\circ / \varpi_E V_{\sigma}^\circ, \pi^D_v(\overline{r})^{K_1})$ 의 차원은 정확히 1이며, 다수성 일의성을 확인한다.
• $\pi^D_v(\overline{r})^{K_1}$ 는 그 조르당-횔러 구성원들의 삽입 완비의 직합에 통합되며, 국소 기준에서 요구되는 조건을 만족한다.
• $R^\min_{\infty,\tau_v}$ 위에서 $M^\min_{\overline{r},\infty}((V_{\sigma})^\circ)$ 는 랭크 1의 자유 코herent sheaf 이며, 이는 관련된 $\mathrm{Hom}$-공간의 차원이 최대 1임을 의미한다.
• $\pi^D_v(\overline{r})^{K_1}$ 의 $\mathrm{GL}_2(\mathcal{O}_{F_v})$-소클은 $\bigoplus_{\sigma \in \mathscr{D}(\overline{\rho}_v)} \sigma$ 와 동형이며, 브차즈-다이아몬드-자르비의 추측과 일치한다.
• 이 결과는 약한 타일러-윌즈 유형의 가정 하에 성립하며, 확정적인 퀼터니언 대수의 경우로도 확장되어 다양한 설정 간의 일관성을 확인한다.