[논문 리뷰] Multiplicity results for $(p,\, q)$ fractional elliptic equations involving critical nonlinearities

Mousomi Bhakta, Debangana Mukherjee|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 30.

Nonlinear Partial Differential Equations인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 유계 영역에서 볼록-임계 비선형성을 갖는 $(p,q)$ 분수 타원형 방정식에 대해 변분 방법을 사용하여 무수히 많은 비자명한 해의 존재를 확립한다. 볼록-임계 비선형성의 경우, 농축-콤팩트성 접근법과 임계점 이론을 통해 $\text{cat}_{\Omega}(\Omega)$개 이상의 음이 아닌 해의 존재를 증명한다.

ABSTRACT

In this paper we prove the existence of infinitely many nontrivial solutions for the class of $(p,\, q)$ fractional elliptic equations involving concave-critical nonlinearities in bounded domains in $\mathbb{R}^N$. Further, when the nonlinearity is of convex-critical type, we establish the multiplicity of nonnegative solutions using variational methods. In particular, we show the existence of at least $cat_Ω(Ω)$ nonnegative solutions.

연구 동기 및 목표

• 유계 영역에서 볼록-임계 비선형성을 갖는 $(p,q)$ 분수 타원형 방정식에 대해 무수히 많은 비자명한 해의 존재를 증명하는 것.
• 비선형성이 볼록-임계 유형일 경우 다수의 음이 아닌 해의 존재를 증명하는 것.
• 유계 영역에서 비국소적 $(p,q)$ 분수 라플라스 연산자 설정으로 변분 방법을 확장하는 것.
• 분수 소볼레프 포함의 콤팩트성 부족을 극복하기 위해 농축-콤파クト성 원리와 임계점 이론을 적용하는 것.
• 해의 다수성과 도메인 $\Omega$의 위상적 카테고리 $\text{cat}_{\Omega}(\Omega)$ 사이의 연결 고리 설정.

제안 방법

• 비국소 갈리아르도 반정규를 포함하는 비국소 Gagliardo 반정규를 갖는 분수 소볼레프 공간 $X_{0,s_1,p}(\Omega)$를 사용한다.
• $X_{0,s_1,p}(\Omega)$에서 $L^{p^*_{s_1}}(\Omega)$로의 포함에서 콤팩트성 부족을 다루기 위해 농축-콤팩트성 원리를 적용한다.
• 방정식과 관련된 에너지 함수를 분석하고 임계 수준 이하에서 (PS) 조건을 증명함으로써 변분 방법을 활용한다.
• 크라소노셀스키의 유형과 변형 보조정리를 사용하여 다수의 임계점을 확보한다.
• 산봉우리 길 임계점 정리와 변형 추론을 적용하여 에너지 함수의 임계점을 특정한다.
• 위상적 도구, 특히 $\text{cat}_{\Omega}(\Omega)$를 사용하여 해의 수를 추정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유계 영역에서 볼록-임계 비선형성을 갖는 $(p,q)$ 분수 타원형 방정식에 대해 무수히 많은 비자명한 해의 존재를 증명할 수 있는가?
• RQ2 비선형성이 볼록-임계 유형일 경우 정확한 음이 아닌 해의 수는 얼마인가?
• RQ3 도메인 $\Omega$의 위상적 성질이 $(p,q)$ 분수 타원형 문제의 해 수에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 농축-콤팩트성 방법을 비국소적 $(p,q)$ 분수 설정으로 일반화하여 콤팩트성을 복원할 수 있는가?
• RQ5 분수 라플라스 연산자 $(-\Delta)^{s_1}_p$와 $(-\Delta)^{s_2}_q$는 해의 다수성 확보에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 비선형성이 볼록-임계 유형일 경우 방정식 $(P_{\theta,\lambda})$는 무수히 많은 비자명한 해를 갖는다.
• 볼록-임계 비선형성의 경우, 방정식은 최소 $\text{cat}_{\Omega}(\Omega)$개의 음이 아닌 해를 갖는다.
• 에너지 함수는 임계 수준 $\frac{s_1}{N}(S_{s_1,p})^{N/(s_1 p)}$ 이하에서 (PS) 조건을 만족하며, 이는 임계점 이론의 적용을 가능하게 한다.
• 다수의 해 존재는 도메인 $\Omega$의 위상적 카테고리와 연결되며, 해의 수는 $\text{cat}_{\Omega}(\Omega)$로 아래에서 유계된다.
• 농축-콤팩트성 방법은 분수 소볼레프 포함 $X_{0,s_1,p}(\Omega) \hookrightarrow L^{p^*_{s_1}}(\Omega)$에서의 콤팩트성 부족을 성공적으로 제어한다.
• 증명은 변형 수축을 구성하고 기껏해야 홀수 매핑을 사용하여 하위레벨 집합의 카테고리와 임계점 수 사이의 관계를 설정한다.