[논문 리뷰] Multiplicity results for the fractional laplacian in expanded domains

Giovany M. Figueiredo, Marcos T. O. Pimenta외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 30.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 19인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 변동 도메인 $\Omega_\lambda = \lambda\Omega$ 에서 분수라플라스 방정식 $(-\Delta)^\alpha u + u = h(u)$ 의 비자명한 약한 해에 대한 다중성 결과를 변분법, 루지에르니츠-슈니레르만 카테고리, 그리고 모스 이론을 사용하여 수립한다. 큰 $\lambda$ 에서 해의 수는 도메인의 위상적 불변량에 의해 아래에서 유계이다: 적어도 $\operatorname{cat}(\Omega_\lambda)$ 개의 해가 존재하며, 도메인이 수축 가능하지 않다면 $\operatorname{cat}(\Omega_\lambda)+1$ 개 이상 존재한다. 모스 이론을 통해 푸아앵카르 다항식을 사용하여 개선된 유계를 확보한다.

ABSTRACT

In this paper we establish the multiplicity of nontrivial weak solutions for the problem $(-Δ)^α u +u= h(u)$ in $Ω_λ$,\ $u=0$ on $\partialΩ_λ$, where $Ω_λ=λΩ$, $Ω$ is a smooth and bounded domain in $\mathbb{R}^N, N>2α$, $λ$ is a positive parameter, $α\in (0,1)$, $(-Δ)^α$ is the fractional Laplacian and the nonlinear term $h(u)$ has a subcritical growth. We use minimax methods, the Ljusternick-Schnirelmann and Morse theories to get multiplicity result depending on the topology of $Ω$.

연구 동기 및 목표

• 확장 도메인 $\Omega_\lambda = \lambda\Omega$ 에서 분수라플라스 방정식의 비자명한 약한 해의 존재성과 다중성을 수립하는 것.
• 해의 수를 도메인 $\Omega_\lambda$ 의 위상적 불변량, 특히 루지에르니츠-슈니레르만 카테고리와 푸아앙카르 다항식과 연관짓는 것.
• 기존의 고전적 라플라스 방정식 결과를 변분법과 임계점 이론을 사용하여 분수 설정으로 확장하는 것.
• 도메인이 확장됨에 따라 매개수 $\lambda$ 가 커짐에 따라 해의 수가 어떻게 증가하는지 분석하는 것.
• 도메인의 위상에 기반한 해의 수에 대한 날카운 하한 유계를 제공하는 것, 비수축 가능 도메인 포함.

제안 방법

• 유계이고 미세한 도메인 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$, $N > 2\alpha$ 에서 $\alpha \in (0,1)$ 에 대해 분수라플라스 연산자 $(-\Delta)^\alpha$ 의 사용.
• 에너지 함수를 정의하기 위해 변분법의 적용으로, 이 함수의 임계점이 방정식의 약한 해에 대응함.
• 도메인 $\Omega_\lambda$ 의 위상에 기반하여 임계점의 수를 추정하기 위해 루지에르니츠-슈니레르만 카테고리의 적용.
• 푸아앙카르 다항식 $\mathcal{P}_1(\Omega_\lambda)$ 와 함께 모스 이론을 사용하여 다중성 유계를 개선하는 것.
• 네하리 방법을 통해 다양체 $\mathcal{M}_\lambda$ 상의 제약 조건이 붙은 함수로 문제를 축소하여 임계점의 유계성과 정칙성을 보장하는 것.
• 변형 원리와 호모로지 동형사를 사용하여 도메인 $\Omega_\lambda$ 의 위상과 에너지 함수의 하위레벨 집합의 위상 간의 관계를 설정하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 도메인 $\Omega_\lambda$ 가 $\lambda \to \infty$ 에 따라 확장됨에 따라 분수라플라스 방정식의 비자명한 약한 해의 수는 어떻게 증가하는가?
• RQ2 루지에르니츠-슈니레르만 카테고리와 같은 도메인 $\Omega_\lambda$ 의 위상적 불변량이 해의 수를 예측할 수 있는가?
• RQ3 아래임계성 성장과 암브로세티-라비노비츠 조건을 만족하는 비선형성 $h(u)$ 가 다중성 보장에 미치는 역할은 무엇인가?
• RQ4 모스 이론이 루지에르니츠-슈니레르만 이론보다 더 날카운 해의 수 하한을 제공할 수 있는가?
• RQ5 비선형성 $h(u)$ 에 대한 가정들, 특히 $h(s)/s$ 가 증가하고 $\theta H(s) \leq s h(s)$ 를 만족할 경우, 해의 다중성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• $\lambda \geq \lambda^*$ 에서, $\operatorname{cat}$ 이 루지에르니츠-슈니레르만 카테고리를 나타내며, 적어도 $\operatorname{cat}(\Omega_\lambda)$ 개의 약한 해가 존재한다.
• 만약 $\Omega_\lambda$ 가 수축 가능하지 않다, 즉 $\operatorname{cat}(\Omega_\lambda) > 1$ 이라면, $\lambda \geq \lambda^*$ 에서 적어도 $\operatorname{cat}(\Omega_\lambda) + 1$ 개의 약한 해가 존재한다.
• 비선형성 $h$ 에 더 강한 미분 가능성 조건이 있을 경우, $\lambda > \lambda^*$ 에서 모스 이론은 적어도 $2\mathcal{P}_1(\Omega_\lambda) - 1$ 개의 해를 보장한다. 여기서 $\mathcal{P}_1$ 은 $t=1$ 에서 평가된 푸아앙카르 다항식이다.
• 해의 수는 도메인 $\Omega_\lambda$ 의 위상에 의해 엄격히 결정되며, 호모토피 유형을 초월한 구체적인 형태에 대한 의존성은 없다.
• 결과들은 도메인의 소규모 변형에 대해 안정적이며, 정규 정칙 값의 존재와 함수적 프레임워크 내 이산 임계점 집합의 존재에 의존한다.
• 다중성 유계는 위상 불변량에서 유도되며, 제시된 조건을 초월한 추가 가정이 없이도 향상되지 않기 때문에 날카로운 것으로 간주된다.