[논문 리뷰] MULTIPLICITY RESULTS IN THE NON-COERCIVE CASE FOR AN ELLIPTIC PROBLEM WITH CRITICAL GROWTH IN THE GRADIENT

Colette De Coster, Louis Jeanjean|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 17.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 25인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 비강성 영역에서 $\lambda > 0$ 인 비강성 조건 하에서 임계 기울기 성장 $|\nabla u|^2$ 를 갖는 쿼드라틱 타입 타원형 편미분방정식에 대해 다중성 결과를 확립한다. 하위항 $h(x)$ 에 대한 부호 가정을 제거함으로써, 반공간 $\lambda > 0$ 에서의 해 구조가 $\lambda = 0$ 에서의 행동에 의해 심각하게 영향을 받으며, $h$ 가 양수 또는 음수일지라도 해의 부호가 $h$ 와 반대일 수 있음을 드러낸다.

ABSTRACT

Abstract. We consider the boundary value problem (Pλ) −∆u = λc(x)u+ µ(x)|∇u|2 + h(x), u ∈ H10 (Ω) ∩ L∞(Ω), where Ω ⊂ RN, N ≥ 3 is a bounded domain with smooth boundary. It is assumed that c 0, c, h belong to Lp(Ω) for some p> N. Also µ ∈ L∞(Ω) and µ ≥ µ1> 0 for some µ1 ∈ R. It is known that when λ ≤ 0, problem (Pλ) has at most one solution. In this paper we study, under various assumptions, the structure of the set of solutions of (Pλ) assuming that λ> 0. Our study unveils the rich structure of this problem. We show, in particular, that what happen for λ = 0 influences the set of solutions in all the half-space]0,+∞[×(H10 (Ω)∩ L∞(Ω)). Most of our results are valid without assuming that h has a sign. If we require h to have a sign, we observe that the set of solutions differs completely for h 0 and h 0. We also show when h has a sign that solutions not having this sign may exists. Some uniqueness results of signed solutions are also derived. The paper ends with a list of open problems. 1.

연구 동기 및 목표

• 비강성 조건 하에서 이차 기울기 성장과 비강성 하위항 $\lambda c(x)u$ 를 갖는 쿼드라틱 타원형 문제의 해 집합을 분석하는 것.
• $\lambda > 0$ 에서의 해 구조가 $\lambda = 0$ 에서의 행동에 의해 어떻게 영향을 받는지 조사하는 것, 특히 $h$ 가 부호를 변화시킬 경우에 중점을 두어.
• $h$ 가 엄격히 양수 또는 음수일지라도 $h$ 와 반대 부호를 갖는 해의 존재를 입증하는 것.
• $h$ 에 대한 부호 가정을 제거하고, 비강성 경우에 이전에 알려진 것보다 더 풍부한 다중성과 해 구조를 보여주는 것.

제안 방법

• 엄격한 하위해와 초해를 갖는 하위-초해를 사용하여 해 연산자와 도수 이론을 적용하는 방법.
• 수정된 문제에 관련된 해 연산자에 레일리-쇼우더 도수를 적용하여 유계 영역 내 해의 존재를 증명하는 방법.
• $C^1(\overline{\Omega})$ 상에서 고정점 연산자 $\overline{\mathcal{M}}$ 를 구성하여 경계값 문제의 해를 찾는 방법.
• 강한 최대원리의 적용을 통해 내부 극대 및 극소를 배제하고, 하위해와 초해 사이의 엄격한 순서를 보장하는 방법.
• 도수의 절단 및 호모토피 불변성 원리를 사용하여 원래 연산자와 수정된 연산자 간의 도수를 연결하는 방법.
• 해 집합의 컴act성과 해 집합의 유한교차성 성질을 이용한 극한해의 증명 방법.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $h$ 가 부호를 갖지 않는다고 가정할 때, 임계 기울기 성장이 있는 타원형 문제의 해 집합은 $\lambda > 0$ 에서 어떻게 행동하는가?
• RQ2 $\lambda = 0$ 에서의 행동이 반공간 $\lambda > 0$ 에서의 해 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 $h \gneqq 0$ 또는 $h \lneqq 0$ 일지라도 $h$ 와 반대 부호를 갖는 해가 존재할 수 있는가?
• RQ4 $\lambda > 0$ 이고 $\lambda c(x) \gneqq 0$ 일 때, 문제는 어떤 조건에서 다중 해를 갖는가?
• RQ5 $h$ 가 양수일 때와 음수일 때 해 구조는 어떻게 다를 수 있으며, 각 경우에 부호가 반대인 해가 존재할 수 있는가?

주요 결과

• $\lambda > 0$ 에서의 해 집합은 비강성 조건이 성립하더라도 $\lambda = 0$ 에서의 행동에 의해 강하게 영향을 받는다.
• $h \gneqq 0$ 또는 $h \lneqq 0$ 일지라도 $h$ 와 반대 부호를 갖는 해가 존재할 수 있으며, 이는 $h$ 의 부호가 해의 부호를 완전히 결정하지는 않음을 보여준다.
• 적절한 조건 하에서 임의의 하위해 $\alpha$, 초해 $\beta$ 에 대해 구간 $[\alpha, \beta]$ 내에 적어도 하나의 해가 존재한다.
• 해 연산자는 $C^1(\overline{\Omega})$ 의 유계 볼 내에 고정점을 갖으며, 레일리-쇼우더 도수가 1임을 의미하여 적어도 하나의 해가 존재함을 보여준다.
• 극한해는 순서가 정해진 구간 $[\alpha, \beta]$ 내에 존재하며, 해 집합은 $C^1(\overline{\Omega})$ 에서 컴act하다.
• 문제의 수정에 따라 해 연산자의 도수가 유지되며, 이는 도수 이론을 사용하여 존재성과 다중성을 증명하는 데 활용될 수 있다.