[논문 리뷰] Multiplier Hopf algebras imbedded in C$^*$-algebraic quantum groups

Kenny De Commer, Alfons Van Daele|ArXiv.org|2006. 11. 28.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 9인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 컴act한 양자군에 포함된 승수 호프 대수의 해석적 구조를 조사하며, 적절한 조건 하에서 이러한 대수들이 전체 해석적 구조를 물려받고, 대수적 양자군이 되는 것을 보여준다. 핵심 결과는 ∗-대수적 양자군의 스케일링 상수가 반드시 1이어야 하며, 이는 하어르 무게에 대한 상대적 불변성 외에도 실제 불변성을 보여줌으로써 분야 내 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

Let $(A,Δ)$ be a locally compact quantum group and $(A_0,Δ_0)$ a regular multiplier Hopf algebra. We show that if $(A_0,Δ_0)$ can in some sense be imbedded in $(A,Δ)$, then $A_0$ will inherit some of the analytic structure of $A$. Under certain conditions on the imbedding, we will be able to conclude that $(A_0,Δ_0)$ is actually an algebraic quantum group with a full analytic structure. The techniques used to show this, can be applied to obtain the analytic structure of a $^*$-algebraic quantum group {\it in a purely algebraic fashion}. Moreover, the {\it reason} that this analytic structure exists at all, is that the one-parameter groups, such as the modular group and the scaling group, are diagonizable. In particular, we will show that necessarily the scaling constant $μ$ of a $^*$-algebraic quantum group equals 1. This solves an open problem.

연구 동기 및 목표

• 국소적으로 컴 pact한 양자군에 포함된 정규 승수 호프 대수가 환경 양자군으로부터 해석적 구조를 물려받는지 조사하기.
• 해당 임베딩이 승수 호프 대수를 전체 해석적 구조를 지닌 대수적 양자군으로 만드는 조건을 규명하기.
• ∗-대수적 양자군의 스케일링 상수 μ가 반드시 1이어야 하는지 여부를 해결하기.
• 해석 기법을 회피하고 순수하게 대수적 방법으로 ∗-대수적 양자군 위에 양의 오른쪽 불변 함수형이 존재함을 도출하기.
• ∗-대수적 양자군의 맥락에서 일차 파라미터 군(모듈러 및 스케일링)의 대각화 가능성에 따른 구조적 함의를 탐색하기.

제안 방법

• 승수 호프 대수 $A_0$가 comultiplication 호환성 조건 $\triangle_0(a)(1 \otimes b) = \triangle(a)(1 \otimes b)$를 만족함으로써 국소적으로 컴 pact한 양자군 $(A, \triangle)$에 임베딩됨을 정의한다. 여기서 $a,b \in A_0$이다.
• C∗-대수 $A$로의 임베딩과 von Neumann 대수 $M$으로의 임베딩을 구분하며, 미약한 조건 하에서 오직 C∗-대수로의 임베딩만이 일차 파라미터 군에 대해 불변성을 보임을 보인다.
• 모듈러 및 스케일링 일차 파라미터 군의 대각화를 이용하여 스케일링 상수 $\mu$가 반드시 1이어야 함을 유도한다.
• 특히 쌍대성 및 쌍대 이론 기법을 활용하며, 특히 컴팩트 양자군 $\mathscr{B} = SU_q(2)$의 쌍대를 사용하여 구체적 예를 구성한다.
• $\mathscr{B}$와 $A_0 = U_q(su(2))$ 사이의 쌍대를 활용하여 $A_0$가 $M(\widehat{\mathscr{B}})$, 즉 쌍대의 승수 대수에서 밀도 있는 ∗-부분대수로 실현됨을 보인다.
• 모듈러 및 스케일링 군 $\sigma_z$와 $\theta_z$가 $A_0$의 생성자 $K$와 $E$에 작용하는 방식을 분석하며, $\sigma_z(E) = q^{2iz}E$, $\sigma_z(K) = K$, $\theta_z(E) = q^{2iz}E$, $\theta_z(K) = K$임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소적으로 컴 pact한 양자군에 포함된 정규 승수 호프 대수가 환경 C∗-대수적 양자군으로부터 해석적 구조를 물려받을 수 있는가?
• RQ2 어떤 조건에서 그러한 임베딩이 승수 호프 대수를 대수적 양자군으로 만드는가?
• RQ3 이전 연구에서 스케일링 군의 상대적 불변성만을 보였음에도 불구하고, ∗-대수적 양자군의 스케일링 상수 $\mu$가 반드시 1이어야 하는가?
• RQ4 ∗-대수적 양자군 위에 양의 오른쪽 불변 함수형이 존재함을 해석 기법 없이 순수하게 대수적 방법으로 도출할 수 있는가?
• RQ5 일차 파라미터 군(모듈러 및 스케일링)이 ∗-대수적 양자군의 생성자에 대해 얼마나 강하게 대각화되며, 이는 전반적인 구조에 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• ∗-대수적 양자군의 스케일링 상수 $\mu$는 반드시 1이어야 하며, 이는 [8]에서 제기된 열린 문제를 해결한다.
• 모듈러 및 스케일링 일차 파라미터 군은 $U_q(su(2))$의 생성자에 대해 대각화되며, $\sigma_z(E) = q^{2iz}E$, $\sigma_z(K) = K$, $\theta_z(E) = q^{2iz}E$, $\theta_z(K) = K$이다.
• $\mathscr{B} = SU_q(2)$와의 쌍대를 통해 $A_0 = U_q(su(2))$를 $M(\widehat{\mathscr{B}})$에 임베딩함으로써, $A_0$가 모듈러 및 스케일링 군에 대해 불변인 승수 호프 ∗-대수로 실현된다.
• 비록 $A_0$가 모듈러 및 스케일링 군에 대해 불변이지만, $\delta^{it} = K^{-4it}$와 같은 모듈러 원소에 의한 왼쪽 곱셈에 대해서는 불변이 아니며, 이는 $A_0$에 속하지 않는다.
• $A_0 \cap \widehat{\mathscr{B}} = \{0\}$이므로, $A_0$는 쌍대 양자군의 C∗-대수에 포함되어 있지 않다.
• ∗-대수적 양자군 위에 양의 오른쪽 불변 함수형이 존재함을 해석적 구성 없이 순수하게 대수적 방법으로 도출할 수 있다.