[논문 리뷰] Multiplier Hopf and bi-algebras

K. Janssen, Joost Vercruysse|ArXiv.org|2009. 01. 20.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 13인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 비단위, 등급형, $k$-프로젝티브 대수의 모나이드 범주에서의 코알gebra로서의 멀티플라이어 대수를 도입함으로써 멀티플라이어 호프 대수에 대한 범주론적 프레임워크를 제공한다. 비퇴화적, 등급형, $k$-프로젝티브 대수가 멀티플라이어 대수이기 위한 필요충분조건은 그 왼쪽 모듈, 오른쪽 모듈, 확장의 범주가 $k$-모듈의 범주와 엄격한 모나이드 잊어버림 함자 다이어그램을 이룰 때이며, 이는 콘볼루션 역원 쌍대항등원을 통한 멀티플라이어 호프 대수의 통합된 범주론적 해석을 제공한다.

ABSTRACT

We propose a categorical interpretation of multiplier Hopf algebras, in analogy to usual Hopf algebras and bialgebras. Since the introduction of multiplier Hopf algebras by Van Daele in [A. Van Daele, Multiplier Hopf algebras, {\em Trans. Amer. Math. Soc.}, {\bf 342}(2), (1994) 917--932.] such a categorical interpretation has been missing. We show that a multiplier Hopf algebra can be understood as a coalgebra with antipode in a certain monoidal category of algebras. We show that a (possibly non-unital, idempotent, non-degenerate, $k$-projective) algebra over a commutative ring $k$ is a multiplier bialgebra if and only if the category of its algebra extensions and both the categories of its left and right modules are monoidal and fit, together with the category of $k$-modules, into a diagram of strict monoidal forgetful functors.

연구 동기 및 목표

• 기존에 양자군 이론에서 중요한 역할을 하였음에도 불구하고, 멀티플라이어 호프 대수에 대한 범주론적 해석이 부족한 데서 비롯된 문제를 해결하고자 한다.
• 비단위, 등급형, $k$-프로젝티브 대수의 모나이드 범주에서 코알gebra로서의 멀티플라이어 대수를 정의하고자 한다.
• 모듈 및 확장 범주의 모나이드성과 $\mathcal{M}_k$로의 엄격한 모나이드 잊어버림 함자 다이어그램을 통한 멀티플라이어 대수의 특성화를 수립하고자 한다.
• 기존의 호프 대수 이중성 프레임워크를 비단위, 무한차원 설정으로 확장하기 위해 멀티플라이어 구조를 활용하고자 한다.
• 기존 문헌에서의 정의와 일치하는 방식으로 모듈 대수 및 코모듈 대수의 구조를 멀티플라이어 대수로 일반화하고자 한다.

제안 방법

• 기본 대수의 멀티플라이어 대수 구성법을 사용하여 비퇴화적, 등급형, $k$-프로젝티브 $k$-대수의 모나이드 범주 $\mathcal{N}dI_k$ 를 정의한다.
• 멀티플라이어 대수를 $\mathcal{N}dI_k$ 내의 코알gebra로 특성화하여, 단위가 있는 대수의 일반화로 확장한다.
• 특정 $k$-대수가 멀티플라이어 대수임과 동시에 그 왼쪽/오른쪽 모듈 및 확장의 범주가 모나이드이며, $\mathcal{M}_k$로의 엄격한 모나이드 잊어버림 함자 다이어그램을 이룰 조건이 동치임을 증명한다.
• 콘볼루션 대수의 구조를 활용하여 쌍대항등원을 멀티플라이어 설정에서의 콘볼루션 역원으로 이해한다.
• 기본 $k$-모듈의 모나이드 범주 내에서 행동과 코행동을 내재화함으로써 멀티플라이어 대수 위에서의 모듈 대수 및 코모듈 대수를 정의한다.
• 문헌(예: Van Daele의 작업)에서 제시된 코행동 및 코단위 조건이 멀티플라이어 대수 내에서의 등식으로 표현됨을 증명하여, 범주론적 프레임워크와의 일관성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 멀티플라이어 호프 대수는 고전적 호프 대수의 범주론적 해석과 유사한 방식으로 어떻게 기술할 수 있는가?
• RQ2 비단위 설정에서 단위가 있는 대수의 일반화로서 올바른 '멀티플라이어 대수'의 개념은 무엇인가?
• RQ3 비단위 대수의 왼쪽 모듈, 오른쪽 모듈, 확장의 범주가 모나이드가 되고, $\mathcal{M}_k$로의 엄격한 모나이드 잊어버림 함자 다이어그램을 이룰 조건은 무엇인가?
• RQ4 멀티플라이어 호프 대수의 쌍대항등원은 멀티플라이어 대수 설정에서의 콘볼루션 역원으로 어떻게 유도되는가?
• RQ5 기존의 정의와 일치하는 방식으로 멀티플라이어 대수 위에서의 모듈 대수 및 코모듈 대수는 어떻게 정의할 수 있는가?

주요 결과

• 비퇴화적, 등급형, $k$-프로젝티브 대수가 멀티플라이어 대수이기 위한 필요충분조건은 그 왼쪽 모듈, 오른쪽 모듈, 확장의 범주가 모나이드이며, $\mathcal{M}_k$와 엄격한 모나이드 잊어버림 함자 다이어그램을 이룰 때이다.
• 비단위 설정에서는 왼쪽 모듈 범주의 모나이드성과 오른쪽 모듈 범주의 모나이드성이 동치가 아니며, 이는 단위가 있는 경우와의 주요 차이점을 드러낸다.
• 멀티플라이어 호프 대수의 쌍대항등원은 내부 자기준동형의 멀티플라이어 대수에서 항등원의 콘볼루션 역원으로 특성화된다.
• 코행동 $\widetilde{\rho}: B \to \mathbb{M}(B \otimes A)$ 는 $\overline{B \otimes \varepsilon}(\widetilde{\rho}(b)(1 \otimes a)) = \widetilde{\varepsilon}(a)\iota_B(b)$ 를 모든 $a \in A$, $b \in B$ 에 대해 만족할 때와 동치이며, 이는 Van Daele의 원래 정의에서의 조건과 정확히 일치한다.
• 멀티플라이어 대수 위에서의 모듈 대수 및 코모듈 대수들은 $k$-모듈의 모나이드 범주 내에서 내재된 대수로서 정의되며, 적절한 호환 조건을 만족하는 행동 및 코행동을 갖는다.