[논문 리뷰] Multiplying boolean Polynomials with Frobenius Partitions in Additive Fast Fourier Transform

Ming-Syan Chen⋆, Chen-Mou Cheng외 3명|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 30.

Coding theory and cryptography참고 문헌 18인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 덧셈형 빠른 푸리에 변환(FFT) 프레임워크 내에서 프로베누스 분할을 사용하여 고차수 부울 다항식을 곱하는 데 위한 새로운 알고리즘을 제시한다. 프로베누스 사상 하에서 고차수 원소를 활용하고, SIMD 명령어 및 메모리 접근 패턴을 최적화함으로써 저자들은 기존 방법보다 실질적인 벤치마크에서 두 배 빠른 소프트웨어 구현을 달성하였다.

ABSTRACT

We show a new algorithm and its implementation for multiplying bit-polynomials of large degrees. The algorithm is based on evaluating polynomials at a specific set comprising a natural set for evaluation with additive FFT and a high order element under Frobenius map of $\mathbb{F}_{2}$. With the high order element, we can derive more values of the polynomials under Frobenius map. Besides, we also adapt the additive FFT to efficiently evaluate polynomials at the set with an encoding process. For the implementation, we reorder the computations in the additive FFT for reducing the number of memory writes and hiding the latency for reads. The algebraic operations, including field multiplication, bit-matrix transpose, and bit-matrix multiplication, are implemented with efficient SIMD instructions. As a result, we effect a software of best known efficiency, shown in our experiments.

연구 동기 및 목표

• 대수적 구조 $\mathbb{F}_2[x]$ 내에서 고차수 부울 다항식을 곱하는 고성능 소프트웨어 구현을 개발하는 것.
• 프로베누스 분할과 덧셈형 FFT 구조를 활용하여 다항식 곱셈의 계산 오버헤드를 줄이는 것.
• 현장 연산, 비트 행렬 전치, 곱셈에 대해 메모리 접근을 최적화하고 SIMD 명령어를 활용하는 것.
• 기존 구현보다 런타임 효율성을 높이되, 최적의 점근적 복잡도를 유지하는 것.

제안 방법

• 알고리즘은 다항식을 $\mathbb{F}_{2^m}$에서 효율적으로 평가할 수 있도록 설계된 프로베누스 분할 $\Sigma = v_{l+m/2} + V_l$를 사용하는 덧셈형 FFT를 활용한다.
• 새로운 인코딩 과정인 'Encode'는 $l_m$ 단계를 행렬 곱셈으로 수행하고 불필요한 결과를 잘라내어 버블리 오퍼레이션을 가속화한다.
• 덧셈형 FFT의 계산 순서를 재정렬하여 메모리 왤쓰를 최소화하고 메모리 지연을 숨기는 데 초점을 맞춘다.
• 현장 곱셈은 PCLMULQDQ 명령어 세트를 사용하여 가속화하고, 비트 행렬 연산은 SIMD 명령어를 통해 최적화한다.
• $\mathbb{F}_{2^m}$의 부분체 구조를 활용하여 현장 곱셈 비용을 감소시킨다.
• 프로베누스 사상은 변환에 더 효율적인 평가 점을 생성하기 위해 고차수 원소를 생성하는 데 사용된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 프로베누스 분할이 부울 다항식 곱셈을 위한 덧셈형 FFT의 효율성을 향상시키는 데 효과적으로 활용될 수 있는가?
• RQ2 메모리 접근 순서 재정렬과 SIMD 병렬성 기반 최적화를 통해 실질적인 덧셈형 FFT를 어떻게 개선할 수 있는가?
• RQ3 프로베누스 분할과 효율적인 인코딩 및 현장 산술을 조합함으로써 얻을 수 있는 성능 향상은 무엇인가?
• RQ4 런타임과 확장성 측면에서 제안된 방법은 크로네커 대체 기반 접근법과 비교해 어떻게 성능을 냈는가?

주요 결과

• 제안된 $\mathbb{F}_{2^{64}}$ 구현은 이전에 알려진 모든 구현보다 뛰어나며, 크로네커 대체 기반 방법보다 2배 빠른 성능을 기록하였다.
• 비록 $\mathbb{F}_{2^{128}}$가 더 큰 다항식 차수를 지원하지만, 더 효율적인 현장 곱셈 덕분에 $\mathbb{F}_{2^{64}}$ 버전이 더 빠르게 작동한다.
• 실험 결과, 덧셈형 FFT 기반 알고리즘은 로그-로그 플롯에서 거의 선형적 확장성을 보였고, 다항식 곱셈 FFT는 최적의 군 크기 조건을 충족하지 못해 약간의 편차를 보였다.
• 버블리 컴포넌트는 $O(n)$이지만 실질적으로 런타임을 지배하므로 핵심 성능 저하 요소로 나타났다.
• BasisCvt 컴포넌트의 런타임 증가율이 가장 빠르며, 그 다음으로 버블리, 그 다음으로 Encode가 이어지며, 이는 이들의 이론적 복잡도 수준과 일치한다.
• gf2x와 bitpolymul2와 같은 이전 최첨단 라이브러리보다 측정된 실행 시간이 현저히 낮아, 실질적으로 가장 높은 효율성을 달성하였다.