[논문 리뷰] Multiscale Convergence of the Inverse Problem for Chemotaxis in the Bayesian Setting

Kathrin Hellmuth|arXiv (Cornell University)|2021. 11. 11.

Mathematical Biology Tumor Growth참고 문헌 34인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 기수화학적 이완 방정식과 킬러-세겔 모델의 베이지안 역문제가 파라볼릭(유체역학적) 극한에서 渐近적으로 동치임을 확립한다. 다스케일 점근적 분석을 통해, 기수화학적 모델의 뒤집힘 핵과 킬러-세겔 모델의 화학유도 계수에 대한 사후 분포가 쿨백-라이블러 및 헬링거 거리에서 쿨백 수치가 0으로 갈수록 수렴함을 증명하며, 이는 메조스코픽 모델의 계산 비용이 높아 비용 효율적인 대체 모델로 매크로스코픽 모델을 사용할 수 있음을 검증한다.

ABSTRACT

Chemotaxis describes the movement of an organism, such as single or multi-cellular organisms and bacteria, in response to a chemical stimulus. Two widely used models to describe the phenomenon are the celebrated Keller–Segel equation and a chemotaxis kinetic equation. These two equations describe the organism’s movement at the macro- and mesoscopic level, respectively, and are asymptotically equivalent in the parabolic regime. The way in which the organism responds to a chemical stimulus is embedded in the diffusion/advection coefficients of the Keller–Segel equation or the turning kernel of the chemotaxis kinetic equation. Experiments are conducted to measure the time dynamics of the organisms’ population level movement when reacting to certain stimulation. From this, one infers the chemotaxis response, which constitutes an inverse problem. In this paper, we discuss the relation between both the macro- and mesoscopic inverse problems, each of which is associated with two different forward models. The discussion is presented in the Bayesian framework, where the posterior distribution of the turning kernel of the organism population is sought. We prove the asymptotic equivalence of the two posterior distributions.

연구 동기 및 목표

• 화학유도 모델링의 메조스코픽(기수화학적) 및 매크로스코픽(킬러-세겔) 수준에서 수립된 역문제 간의 엄밀한 연결 고리를 확립하기 위해.
• 기수화학적 모델과 킬러-세겔 모델이라는 두 가지 다른 정방 모델에서 유도된 사후 분포가 파라볼릭 척도 극한에서 渐近적으로 동치되는가를 조사하기 위해.
• 기수화학적 모델을 시뮬레이션하기에 너무 비용이 많이 들기 때문에, 계산 비용이 낮은 킬러-세겔 모델을 역문제에서의 대체 모델로 사용할 수 있는 이론적 근거를 제공하기 위해.
• 가우시안 노이즈와 적절한 사전 분포를 가진 베이지안 프레임워크 하에서 사후 분포의 잘 정의됨과 수렴성을 확보하기 위해.
• 정보 이론적 거리(쿨백-라이블러 및 헬링거)를 사용하여 두 사후 측도의 수렴을 정량화하기 위해.

제안 방법

• 기수화학적 모델의 뒤집힘 핵과 킬러-세겔 모델의 화학유도 계수를 사전 분포를 가진 랜덤 변수로 간주하여, 베이지안 프레임워크에서 역문제를 수립한다.
• 다스케일 점근적 분석을 적용하여, 기수화학적 방정식이 파라볼릭 극한(작은 쿨백 수치)에서 킬러-세겔 방정식으로 수렴함을 보인다.
• 칼루브 등(2004)의 파라볼릭 척도를 사용하여 기수화학적 모델의 매크로스코픽 극한을 유도함으로써 정방 모델 간의 일致성을 확보한다.
• 맥락적 밀도의 노이즈 있는 측정치를 기반으로 가우시안 노이즈를 가정하여 가능도 함수를 정의한다.
• 두 사후 분포 간의 쿨백-라이블러 거리를 계산하고, 쿨백 수치가 0으로 갈수록 그 값이 사라짐을 증명한다.
• 쿨백-라이블러 거리에 의해 알려진 헬링거 거리의 경계를 활용하여, 헬링거 거리에서의 수렴을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 쿨백 수치가 0으로 갈수록 기수화학적 모델과 킬러-세겔 모델의 화학유도 반응 매개변수에 대한 사후 분포는 渐近적으로 동치되는가?
• RQ2 기수화학적 모델의 계산 비용이 높기 때문에, 매크로스코픽 킬러-세겔 모델을 베이지안 역문제에서 계산 비용 효율적인 대체 모델로 사용할 수 있는가?
• RQ3 두 모델의 사후 분포 수렴 속도는 무엇이며, 이를 어떻게 정량화할 수 있는가?
• RQ4 사전 분포와 측정 노이즈에 어떤 조건이 성립할 경우 두 모델에서 사후 분포가 잘 정의되고 수렴하는가?
• RQ5 유체역학적 극한에서 두 사후 분포 간의 쿨백-라이블러 및 헬링거 거리는 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 쿨백 수치 ε → 0일 때, 기수화학적 이완 모델과 킬러-세겔 모델에서 유도된 사후 분포는 쿨백-라이블러 거리에서 수렴한다.
• 적절한 사전 분포 및 측정 함수 조건 하에서, 뒤집힘 핵의 매개변수 공간 (K₀, K₁) 전역에서 수렴은 균일하다.
• 두 사후 분포 간의 헬링거 거리 또한 극한에서 사라지며, 더 강한 거리 척도 하에서의 渐近적 동치성을 확인한다.
• 정방 모델은 파라볼릭 영역에서 渐近적으로 동치이며, 적절한 척도 하에서 기수화학적 방정식이 킬러-세겔 방정식으로 수렴한다.
• 두 모델의 가능도는 매개변수 공간의 컴act 집합에서 균일하게 수렴하며, 이는 사후 수렴을 보장한다.
• 이론적 결과는 매크로스코픽 킬러-세겔 모델을 더 비싼 기수화학적 모델의 반복 역해법 솔버에서 신속하고 신뢰할 수 있는 초기 추정치로 사용할 수 있음을 지지한다.