[논문 리뷰] Multiscale model reduction for shale gas transport in fractured media

I. Yücel Akkutlu, Yalchin Efendiev외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 01.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 5인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 불균질한 균열 매질에서 비선형 샐프 가스 이동을 시뮬레이션하기 위해 일반화된 다스케일 유한요소법(GMsFEM)을 제안한다. 이 방법은 임의의 균열 방향과 삼각형 미세 격자를 고려한 다스케일 행렬 모델을 통합한다. 적응형 온라인 기저 함수를 도입함으로써 자유도를 효율적으로 줄이면서도 정확도를 유지하며, 2차원 수치 실험에서 빠른 수렴을 보이며 상당한 오차 감소와 계산 비용 절감을 입증한다.

ABSTRACT

In this paper, we develop a multiscale model reduction technique that describes shale gas transport in fractured media. Due to the pore-scale heterogeneities and processes, we use upscaled models to describe the matrix. We follow our previous work \cite{aes14}, where we derived an upscaled model in the form of generalized nonlinear diffusion model to describe the effects of kerogen. To model the interaction between the matrix and the fractures, we use Generalized Multiscale Finite Element Method. In this approach, the matrix and the fracture interaction is modeled via local multiscale basis functions. We developed the GMsFEM and applied for linear flows with horizontal or vertical fracture orientations on a Cartesian fine grid. In this paper, we consider arbitrary fracture orientations and use triangular fine grid and developed GMsFEM for nonlinear flows. Moreover, we develop online basis function strategies to adaptively improve the convergence. The number of multiscale basis functions in each coarse region represents the degrees of freedom needed to achieve a certain error threshold. Our approach is adaptive in a sense that the multiscale basis functions can be added in the regions of interest. Numerical results for two-dimensional problem are presented to demonstrate the efficiency of proposed approach.

연구 동기 및 목표

• 복잡한 미세공극 비균질성을 지닌 균열 매질에서의 샐프 가스 이동을 위한 다스케일 모델 축소 기법을 개발하는 것.
• 이전의 GMsFEM 프레임워크를 확장하여 삼각형 미세 격자를 사용한 비선형 유동과 임의의 균열 방향을 처리하는 것.
• 고정된 오차 지역에서 적응적으로 기저 모델을 강화하는 온라인 기저 함수 전략을 도입하는 것.
• 커로젠과 표면 확산를 고려한 다스케일 비선형 행렬 모델을 다스케일 기저 함수를 통해 균열 네트워크와 결합하는 것.
• 정밀도를 유지하면서 자유도를 줄이고 대규모 시뮬레이션을 효율적으로 수행하면서도 미세 구조 효과를 그대로 유지하는 것.

제안 방법

• 거시 격자 영역에서 행렬-균열 상호작용을 포착하는 다스케일 기저 함수를 구성하기 위해 일반화된 다스케일 유한요소법(GMsFEM)을 사용한다.
• 균열을 해소하고 스냅샷 및 오프라인 공간을 계산하기 위해 삼각형 미세 격자에 이산 균열 모델(DFM)을 적용한다.
• 행렬 내 비선형 확산 및 흡착 과정을 다루기 위해 다스케일 기저 함수의 局부 업데이트를 통한 비선형 모델 축소를 적용한다.
• 잔차 오차가 높은 영역에서 정확도를 향상시키기 위해 잔차 기반 오차 지표를 사용해 적응적으로 계산된 온라인 기저 함수를 도입한다.
• 대표체적 요소(RVEs)에서 국소 문제를 풀어 사전에 계산된 오프라인 기저 함수를 사용하며, 매 N단계의 시간 간격마다 온라인 강화를 촉발한다.
• 수렴 기준으로 가중 L² 및 H¹ 오차를 사용하며, 잔차 기반 오차 지표에 기반한 적응 전략을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 GMsFEM는 삼각형 미세 격자에서 임의의 균열 방향과 비선형 유동을 다룰 수 있는가?
• RQ2 고대비 및 비균질 매질에서 다스케일 시뮬레이션의 수렴을 향상시키기 위해 온라인 기저 함수 강화 전략은 얼마나 효과적인가?
• RQ3 고정된 오프라인 기저 함수에 비해 적응형 온라인 강화는 자유도를 얼마나 줄이면서도 정확도를 유지하는가?
• RQ4 2차원 시뮬레이션에서 오프라인 및 온라인 기저 함수의 수는 오차와 수렴 속도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 제안된 방법은 케르로젠 및 표면 확산와 같은 복잡한 미세공극 과정을 지닌 균열이 있는 샐프에서 소규모 효과를 정확히 포착할 수 있는가?

주요 결과

• 오차 감소가 뚜렷하게 이루어졌다: L² 오차는 1 offline 기저에서 17.136에서 4 offline + online 기저로 0.105로 감소했고, H¹ 오차는 68.989에서 0.057로 감소했다.
• 4개의 오프라인 및 온라인 기저 함수를 사용할 경우, 자유도 726개에서 L² 오차는 0.105로 감소하고 H¹ 오차는 0.057로 낮아져 낮은 계산 비용으로도 높은 정밀도를 달성했다.
• 매 30단계마다 온라인 강화를 시행할 경우, 고정된 오프라인 기저 함수보다 오차 감소 효과가 뛰어나며, 특히 국소 오차가 높은 영역에서 유의미하게 향상되었다.
• 온라인 기저 선택에 공간 적응 전략을 적용함으로써 오차가 추가로 감소하였으며, 자유도 737개에서 L² 오차는 0.098로, H¹ 오차는 0.039로 감소했다.
• 수렴 속도가 매우 빠르며, 매 30단계마다 온라인 기저 함수를 추가함으로써 오차가 10~20단계 내에 감소하여 정확도 향상이 급격히 이루어졌다.
• 다양한 균열 방향과 비선형 과정에서도 정확도를 유지하며, 복잡하고 비균질한 샐프 시스템에서 뛰어난 강건성을 입증했다.