[논문 리뷰] Multiscale model reduction method for Bayesian inverse problems of subsurface flow

Lijian Jiang, Na Ou|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 01.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 22인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 지하류에서 베이지안 역문제의 계산 비용을 줄이기 위해 일반화된 다스케일 유한요소법(GMsFEM)과 최소제곱 스토케스틱 콜로케이션 방법(LS-SCM)을 조합한 다스케일 모델 축소 프레임워크를 제안한다. 사전에 축소된 순차 모델을 구축하고, 잘라낸 카르누넨-뢰브 전개(KLE)를 사용하여 차원 감소를 수행함으로써, 효율적인 마르코프 체인 몬테카를로(MCMC) 샘플링이 가능해지며, 유속 재구성에서 상대 L₂ 오차가 5.68%로 빠른 후행 분포 수렴을 달성한다.

ABSTRACT

This work presents a model reduction approach to the inverse problem in the application of subsurface flows. For the Bayesian inverse problem, the forward model needs to be repeatedly computed for a large number of samples to get a stationary chain. This requires large computational efforts. To significantly improve the computation efficiency, we use generalized multiscale finite element method and least-squares stochastic collocation method to construct a reduced computational model. To avoid the difficulty of choosing regularization parameter, hyperparameters are introduced to build a hierarchical model. We use truncated Karhunen-Loeve expansion (KLE) to reduce the dimension of the parameter spaces and decrease the mixed time of Markov chains. The techniques of hyperparameter and KLE are incorporated into the model reduction method. The reduced model is constructed offline. Then it is computed very efficiently in the online sampling stage. This strategy can significantly accelerate the evaluation of the Markov chain and the resultant posterior distribution converges fast. We analyze the convergence for the approximation between the posterior distribution by the reduced model and the reference posterior distribution by the full-order model. A few numerical examples in subsurface flows are carried out to demonstrate the performance of the presented model reduction method with application of the Bayesian inverse problem.

연구 동기 및 목표

• 지하류에서 반복적인 순차 모델 평가로 인해 발생하는 높은 계산 비용 문제를 해결하기 위해.
• 경계 조건과 소스 위치와 같은 불확실한 입력으로 인해 발생하는 고차원 매개변수 공간의 차원을 감소시키기 위해.
• MCMC 샘플링에 사용할 수 있는 효율적이고 정확한 축소된 순차 모델을 구축하기 위해.
• 정규화 파라미터 선택이 필요 없도록 하기 위해 초모수를 가진 계층적 베이지안 모델을 사용하기 위해.
• 축소된 모델이 최소한의 계산 오버헤드로 참조 후행 분포를 정확하게 근사하는 데 효과적인지 입증하기 위해.

제안 방법

• 일반화된 다스케일 유한요소법(GMsFEM)을 사용하여 미세 척도 이질성을 캡처하는 다스케일 기저 함수를 구축함으로써, 거친 격자 위에서 순차 모델을 효율적으로 해결한다.
• 최소제곱 스토케스틱 콜로케이션 방법(LS-SCM)을 적용하여 사전 지지 영역에서 순차 맵의 서rogate 모델을 구축함으로써 온라인 평가 비용을 감소시킨다.
• 잘라낸 카르누넨-뢰브 전개(KLE)를 사용하여 랜덤 유속 필드를 오직 74개의 주요 성분으로 표현함으로써 매개변수 차원을 220에서 74로 감소시킨다.
• 역문제에서 수동으로 정규화 파라미터를 선택할 필요가 없도록 하기 위해 초모수를 가진 계층적 베이지안 모델을 사용한다.
• GMsFEM와 LS-SCM를 사용하여 사전에 축소된 순차 모델을 구축하고, 이후 온라인 MCMC 샘플링 단계에서 효율적으로 활용한다.
• 마르코프 체인 몬테카를로(MCMC) 알고리즘은 적응형 업데이트를 통해 초모수와 잠재 변수를 업데이트하는 랜덤 워크 메트로폴리스-하스팅스 기반의 알고리즘을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 GMsFEM와 LS-SCM를 기반으로 한 축소된 순차 모델이 지하류에서의 베이지안 역문제에서 전체 순차 모델을 정확하게 근사할 수 있는가?
• RQ2 잘라낸 KLE와 모델 축소의 조합이 고차원 역문제의 MCMC 샘플링을 얼마나 효과적으로 가속화하는가?
• RQ3 제안된 방법이 전체 순차 모델에서의 참조 후행 분포를 정확하게 근사하는가?
• RQ4 계층적 베이지안 프레임워크가 역문제에서 수동 정규화 파라미터 조정이 필요 없도록 할 수 있는가?
• RQ5 노이즈가 많은 관측치에서 동시에 경계 유속과 소스 위치를 복원하는 데 축소된 모델이 어떻게 성능을 발휘하는가?

주요 결과

• 축소된 모델을 사용한 유속 재구성에서의 상대 L₂ 오차는 약 5.68%였으며, 이는 진짜 유속 필드를 높은 정확도로 복원할 수 있음을 시사한다.
• 축소된 모델을 사용하여 계산된 후행 분포는 빠르게 수렴하였고, 전체 순차 모델에서의 참조 후행 분포와 매우 유사하게 나타났다.
• 잘라낸 KLE의 사용으로 매개변수 차원이 220에서 74로 감소하여 마르코프 체인의 혼합 시간이 감소함으로써 MCMC 샘플링이 크게 가속화되었다.
• 후행 밀도의 지지체는 사전보다 좁아졌으며, 이는 관측 데이터 정보가 추정된 매개변수의 불확실성을 효과적으로 감소시켰음을 나타낸다.
• 노이즈가 많고 흐린 관측치가 존재하는 상황에서도 방법은 경계 유속과 소스 위치를 동시에 정확히 복원하는 데 성공하였다.
• 수학적 분석을 통해 축소된 모델의 근사가 베이지안 역문제의 맥락에서 전체 순차 모델로 수렴하는 것을 확인하였다.