[논문 리뷰] Multistage Distributionally Robust Mixed-Integer Programming with Decision-Dependent Moment-Based Ambiguity Sets

Xian Yu, Siqian Shen|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 28.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 34인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 의사결정에 따라 변화하는 모멘트 기반의 모호성 집합을 갖는 다단계 분포로버스트 혼합정수계획법 프레임워크를 제안하여 내생적 불확실성 하에서의 강건 최적화를 가능하게 한다. 하위문제를 혼합정수선형계획법(MILP) 또는 반정형계획법(MISDP)으로 재구성하고, SDDiP를 적용하여 효율적으로 해결하며, 시설 배치 문제에서 빠른 수렴성과 좁은 경계를 보여준다.

ABSTRACT

We study multistage distributionally robust mixed-integer programs under endogenous uncertainty, where the probability distribution of stage-wise uncertainty depends on the decisions made in previous stages. We first consider two ambiguity sets defined by decision-dependent bounds on the first and second moments of uncertain parameters and by mean and covariance matrix that exactly match decision-dependent empirical ones, respectively. For both sets, we show that the subproblem in each stage can be recast as a mixed-integer linear program (MILP). Moreover, we extend the general moment-based ambiguity set in (Delage and Ye, 2010) to the multistage decision-dependent setting, and derive mixed-integer semidefinite programming (MISDP) reformulations of stage-wise subproblems. We develop methods for attaining lower and upper bounds of the optimal objective value of the multistage MISDPs, and approximate them using a series of MILPs. We deploy the Stochastic Dual Dynamic integer Programming (SDDiP) method for solving the problem under the three ambiguity sets with risk-neutral or risk-averse objective functions, and conduct numerical studies on multistage facility-location instances having diverse sizes under different parameter and uncertainty settings. Our results show that the SDDiP quickly finds optimal solutions for moderate-sized instances under the first two ambiguity sets, and also finds good approximate bounds for the multistage MISDPs derived under the third ambiguity set. We also demonstrate the efficacy of incorporating decision-dependent distributional ambiguity in multistage decision-making processes.

연구 동기 및 목표

• 미래 불확실성의 분포가 이전 의사결정에 의존하는 다단계 의사결정 문제에서의 불확실성에 대응하기 위해.
• 정적 상황에서의 모멘트 기반 모호성 집합을 다단계 분포로버스트 최적화에서 의사결정에 의존하는 설정으로 확장하기 위해.
• 다양한 모호성 집합 유형에 따라 하위문제를 해석 가능한 혼합정수선형계획법(MILP) 또는 반정형계획법(MISDP) 형태로 재구성하기 위해.
• SDDiP의 정방향 및 역방향 단계에서 MILP 근사화를 통해 다단계 MISDP에 대한 하한 및 상한 경계 기법을 설계하기 위해.
• 다양한 불확실성 및 데이터 설정 하에서 위험 중립 및 위험 회피 목표에 대해 SDDiP 방법의 성능 평가하기 위해.

제안 방법

• 세 가지 모호성 집합을 제안: 첫 번째 및 두 번째는 의사결정에 따라 변화하는 일차 및 이차 모멘트의 범위 기반, 세 번째는 경험적 평균 및 공분산 행렬을 정확히 일치시키는 것.
• 첫 번째 및 두 번째 모호성 집합에 대해서는 각 단계의 하위문제를 혼합정수선형계획법(MILP)으로 재구성하고, 세 번째 모호성 집합에 대해서는 혼합정수반정형계획법(MISDP)으로 재구성.
• SDDiP의 정방향 및 역방향 단계에서 MISDP 하위문제를 순차적인 MILP 근사화를 통해 하한 및 상한 경계 알고리즘 개발.
• 다단계 문제를 위험 중립 및 위험 회피 목표로 해결하기 위해 SDDiP의 변종을 적용.
• 경험적 데이터를 활용해 의사결정에 따라 변화하는 불확실성을 반영하는 모호성 집합을 구성하며, 특히 다단계 시설 배치 문제에서 적용.
• 반복적으로 컷과 경계를 개선하는 분해 기반 접근법을 사용하여, 첫 번째 및 두 번째 모호성 집합에 대해서는 수렴 보장, 세 번째 모호성 집합에 대해서는 좁은 갭 제어 달성.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모멘트 기반 모호성 집합은 의사결정에 의존하는 불확실성을 고려하는 다단계 문제로 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ2 의사결정에 의존하는 모호성 집합 하에서 다단계 분포로버스트 혼합정수계획법의 하위문제는 해석 가능한 MILP 또는 MISDP 형태로 재구성될 수 있는가?
• RQ3 SDDiP 방법은 이러한 재구성된 문제를 해결하는 데 얼마나 효과적인가, 특히 위험 회피 목표 하에서?
• RQ4 특히 더 복잡한 MISDP 기반 모호성 집합에 대해 경계 기법이 생성하는 하한 및 상한의 질은 어떠한가?
• RQ5 의사결정에 의존하는 모호성 집합을 통합할 경우, 의사결정에 독립적인 대안에 비해 해의 강건성과 목적 함수 성능은 어떻게 향상되는가?

주요 결과

• 첫 번째 및 두 번째 모호성 집합 하에서 중간 크기의 인스턴스에 대해 SDDiP 방법은 상대적 갭이 항상 4% 이하로 빠르게 최적해를 찾는다.
• 세 번째 모호성 집합(경험적 모멘트 일치)의 경우 하한 및 상한 경계의 갭이 작으며, N-DDDR의 상대적 갭은 항상 4% 이내, N-DIDR의 상대적 갭은 10−4 이내로 나타나 강력한 수렴성을 보인다.
• N-DDDR 하에서 최적해는 항상 첫 번째 단계에서 시설 #1을 선택하며, 이는 중심에 위치해 있고 수요 분포의 모수에 가장 큰 영향을 미치는 것으로 나타났다.
• 정규분포 하에서는 수요 변동성이 낮을 때(ρ ≤ 0.4), 모호성 집합이 공집합이 되지만, 로그정규분포 하에서는 변동성이 높을 때(ρ ≥ 0.8) 공집합이 되어 분포 민감도가 뚜렷하다.
• 계산 시간은 지지 크기 K, 시설 수 I, 단계 수 T에 비례하며, 하한(LB)이 MISDP 해를 통해 가장 오래 걸리고, 상한(UB)은 MILP 하위문제로 가장 빠르게 계산된다.
• N-DDDR는 의사결정에 독립적인 대안보다 항상 더 우수한 목적 함수 값을 기록하여, 분포로버스트 최적화에서 의사결정에 의존하는 불확실성의 모델링이 가치가 있음을 입증한다.